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1、2.3.2 公平的席位分配,问题 假设分配名额总数为N，共有s个专业，各专业人口数为pi(i=1,2,s). 问如何寻找一组相应的整数n1,n2,ns, 使n1+n2+ns=N, 其中ni为第i个专业获得的席位数.,1 惯例分配方案,“尽可能”满足第i个专业应得的名额数,即按人口比例分配原则,1) 先取得名额的整数部分qi，,2) 让q-qi按从大到小排列，将余下名额逐个分配。,(1) 当s和 不变时，总名额增加却导致某专业分配名额减少；,表1 按比例加惯例的分配结果,(2) 当s和N不变，各人口有所增长时，增长率大的却减少了名额；,(3) 当s增加，原有的各人数pi不变，N增加时，原有的分配
2、名额有增有减。,表2 按比例加惯例分配结果,表3 按比例加惯例分配结果,“公平”分配方案,衡量公平分配指标为pi/ni, 名额分配公平pi/ni全相等。,取s=2, |p1/n1-p2/n2|表示绝对不公平度,表4 绝对不公平度示例,虽绝对不公平度相等，但后两者的不公平度大大降低。即绝对不公平度不是一个好的衡量标准。,将绝对度量改为相对度量：,若p1/n1p2/n2,对1的相对不公平度,若p2/n2p1/n1,对2的相对不公平度,公平分配方案应使r1, r2尽量小。,动态分配问题:分配总名额N增加1时的公平分配方案,假设开始1、2已分别占n1、n2个名额，且p1/n1p2/n2(对1不公平)，
3、利用r1, r2进行讨论。,1) p1/(n1+1)p2/n2, 名额增加给1，仍对1不公平，显然名额应该给1；,2) p1/(n1+1)p2/n2, 即名额增加给1后，对2不公平，有,3) p1/n1p2/(n2+1), 表示名额增加给2后，对1更不公平，有,为什么不会出现p1/n1p2/(n2+1)?,若r2(n1+1,n2)r1(n1,n2+1), 则名额应增加给1，反之则增加给2.,通过验证，名额应该增加给1，反之，增加给2.,若记,该增加的名额应该给Q值较大的一方.,推广到s方分配名额的情况，当分配总名额N增加1时，计算,该名额应该增加给Qi值最大的那方。,2 Q值法：,用Q值法考虑
4、甲、乙、丙三系分配21个席位的问题:,p1=103, p2=63, p3=34, 按整数部分19个席位分配:n1=10, n2=6, n3=3;,第20席：计算Q1=96.4, Q2=94.5, Q3=96.3, 应给甲,第21席：计算出Q1, Q2, Q3, 最后 Q3最大,应给丙,Q值方法比比例加惯例方法更公平吗？,按照相对不公平度最小的原则，Q值法是合理的。满足公平分配的公理：,设m方人数分别为p1,p2,pm, 总人数P=p1+p2 +pm, 待分配的总席位为N, 分配结果分别为n1, n2,nm, 记ni=ni(N,p1,p2,pm), qi=Npi/P, 若qi均为整数，显然ni=
5、qi. 若qi不全为整数, 记qi-和qi+分别为qi向下和向上取整,应满足,公理一 qi-ni qi+；,公理二 ni=ni(N,p1,p2,pm) ni=ni(N+1,p1,p2,pm), 即总席位增加时ni不应减少.,注：寻求公平分配法的关键，是建立衡量公平程度的既合理又简明的数量指标。,2.3.3 动物数量按年龄阶段预测问题,问题,某农场饲养某种动物，其最大年龄15岁， 第一组0-5岁，第二组6-10岁，第三组11-15岁. 第二和第三组的繁殖率分别为4和3. 第一和第二组能进入下一组的存活率分别为1/2和1/4. 现在有三个年龄段的动物各1000头，问15年后农场三个年龄段的动物各有
6、多少？,模型假设,2) 设xi(k)表示第k个时间周期的第i组年龄段动物的数量(k=1,2,3; i=1,2,3).,1) 设时间周期为T (T=5)；,建立模型,第k个时间周期各年龄组动物的数量：,矩阵表示为,可得递推关系,则有,即,关于年龄分布的人口预测模型,模型假设,1) 设时间周期为T=5;,2) 设xi(k)表示在时间周期k时第i个年龄组的人口, i=1,2,n.(不考虑更大年龄组人口的变化).,模型建立,第k个时间周期内第i+1个年龄组人口数,bi是在第i个年龄组的存活率.,则,而,ai是第i个年龄组的出生率.,x(k)=Lx(k-1),则可得递推公式 x(k)=Lx(k-1)=Lkx(0),这就是Leslie模型。,称为Leslie矩阵。,2.3.4 小行星的轨道模型,开普勒第一定律：小行星轨道为一椭圆 椭圆曲线一般方程：,问题 如何确定一颗小行星绕太阳运行的轨道？,表2-7 坐标数据,在轨道平面上，以太阳为原点建立直角坐标系，下表是5个不同时间对小行星作的5次观察。,依据表2-9中的5个坐标点,根据二次曲线理论，可得如下椭圆方程,长半轴为,短半轴为,椭圆半焦距为,其中,且小行星近日点距和远日点距分别h=a-c, H=a+c。,
