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1、1,第九章,一元函数积分学,多元函数积分学,重 积 分,第一节,二重积分的概念与性质,2,解法: 类似定积分解决问题的思想:,一、引例,曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底： xoy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“分割,近似 ,求和, 取极限”,3,1)“分割”,用任意曲线网把D分为 n 个小区域,以它们为底把曲顶柱体分为 n 个,2)“近似”-以平代曲,在每个,3)“求和”,则,中任取一点,小曲顶柱体,4,4)“取极限”,令,5,用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并任取一小区
2、域，,曲顶柱体的体积,6,7,二、二重积分的定义及可积性,定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I , 使,可积 ,在D上的二重积分.,是定义在有界区域 D上的有界函数 ,8,积分和,9,对二重积分定义的说明：,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,(3) 积分值和积分和的关系,当被积函数既有小于零又有大于零时，二重积分是各部分柱体体积的代数和,10,引例中曲顶柱体体积:,如果 在D上可积,也常,二重积分记作,这时,分区域D ,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,11,二重积分存在
3、定理:,若函数,定理2.,(证明略),定理1.,在D上可积.,限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,积.,在有界闭区域 D上连续,则,若有界函数,在有界闭区域 D 上除去有,12,例如,在D :,上二重积分存在 ;,在D 上,二重积分不存在 .,13,三、二重积分的性质,( k 为常数),（二重积分与定积分有类似的性质）,对区域具有可加性,14, 为D 的面积, 则,特别, 由于,则,5. 若在D上,15,.,（二重积分估值不等式）,16,7.(二重积分的中值定理),证: 由性质6 可知,由连续函数介值定理, 至少有一点,在闭区域D上, 为D 的面积 ,则至少存在一点,使,使,连续,因此,17,解
4、,18,例2. 估计,的值, 其中 D 为,解: 被积函数,D 的面积,的最大值,的最小值,19,例3. 比较下列积分的大小:,其中,解: 积分域 D 的边界为圆周,它与 x 轴交于点 (1,0) ,而域 D 位,从而,于直线的上方, 故在 D 上,20,解,D夹在两直线间,21,例5. 估计下列积分之值,解: D 的面积为,由于,积分性质5,即: 1.96 I 2,22,8. 设函数,D 位于 x 轴上方的部分为D1 ,当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍,在 D 上,在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则,则,有类似结果.,23,在第一象限部分, 则有,24,四、
5、特殊区域下曲顶柱体体积的计算,设曲顶柱体的底可表示为:,X型积分区域,其中函数 、 在区间 上连续.,25,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,26,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,27,同样, 曲顶柱体的底可表示为,Y型,28,则其体积可按如下两次积分计算,这样我们就把二重积分转化成为了二次积分或累次积分.,29,内容小结,1. 二重积分的定义,2. 二重积分的性质,(与定积分性质相似),3. 曲顶柱体体积的计算,二次积分法,30,被积函数相同, 且非负,思考与练习,解:,由它们的积分域范围可知,1. 比较下列积分值的大小关系:,31,2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则,的大小顺序为 ( ),提示: 因 0 y 1, 故,故在D上有,32,3. 计算,解:,33,P78 2，4(1)(4), 5(2)(4) P95 1(1), 8,作业,34,4. 证明:,其中D 为,解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有,又 D 的面积为 1 ,故结论成立 .,35,练 习 题,36,37,38,练习题答案,
