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1、,第四节,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,对面积的曲面积分,第十一章,一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例:,类似求平面薄板质量的思想, 采用,可得,求质,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,的方法,量 M.,其中, 表示 n 小块曲面的直径的,(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,最大值,设曲面形构件具有连续面密度,定义,设 为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 f (x, y, z) 叫做被积,据此定义, 曲面形构件的质量为,曲面面积为,f (x, y, z) 是定义在 上的一,个有界函数,若对 做任意分割和局部区域任意取点
2、,则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上,函数, 叫做积分曲面.,对面积,则对面积的曲面积分存在., 对积分域的可加性.,则有, 线性性质.,在光滑曲面 上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似., 积分的存在性.,若 是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,定理,f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,证明,设有光滑曲面,由定义知,而,( 光滑),说明:,可有类似的公式：,如果曲面方程为,例1,其中 是球面,被平面,截出的顶部.,解,计算曲面积分,思考:,若 是球面,被平行平面 z =h 截,出的上下两部分,则,例2,
3、其中 是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解,上的部分, 则,与,原式 =,分别表示 在平面,设,计算,例3,设,计算,解,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xOy 面上的,投影域为,则,锥面,计算结果如何 ?,例4,解,利用对称性可知重心的坐标,而,用球面坐标,思考题:,求半径为R 的均匀半球壳 的重心.,设 的方程为,例 3 是否可用球面坐标计算 ?,例5,其中 是球面,利用对称性可知,解,半径为,利用重心公式,计算,显然球心为,例6,求此曲面壳在平面 z =1以上部分 的,的面密度,质量 M .,解,故,已知曲面壳, 在 xOy 面上的投影为,内容小结,1. 定义:,2. 计算: 设,则,(曲面的其他两种情况类似),注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、质心公式,简化计算的技巧.,思考与练习,P219 题1；3；4 (1) ; 7,解答提示:,P219 题1.,P219 题3.,设,则,P246 题2,P219 题4 (1)., 在 xOy 面上的投影域为,这是 的面积 !,P220 题7.,如图所示, 有,P246 题2.,限中的部分, 则有( ).,( 2000 考研 ),
