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1、例题课,二、二重积分的计算,三、三重积分的计算,四、重积分的应用,第十章 重积分的计算及应用,一、学习指导,学习指导,1、掌握二重积分的概念。 2、会用联立不等式表示平面区域。 3、熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算。能按照积分区域的特征将二重积分转化为二次积分，也能由二次积分的积分限确定二重积分的积分区域，并进一步变换二次积分的次序。 4、会将直角坐标系中简单曲线的方程改写为极坐标系下的方程，会确定极坐标系中积分区域的参数变化范围，会在极坐标系下计算简单区域的二重积分。 5、掌握二重积分的几何意义，能用二重积分计算平面区域的面积和空间中简单立体的体积。,6、会用二重积分计算质量、质心、一阶矩
2、和转动惯量等。 7、掌握第一型曲面积分的概念，会确定曲面在坐标平面上的投影区域，会计算简单曲面上的第一型曲面积分。 8、对三重积分可以理解为密度函数为的所占的区域为的物体的质量。理解这一点对三重积分的许多性质的理解有极大的帮助。 9、还应将三重积分和以前各类积分比较，一方面可以加强理解，另一方面也使同学不易忘记和混淆。,9、对称性 当积分区域关于面对称时，若被积函数关于为偶函数，即 ，则 其中为在面之上方的部分 若被积函数关于为奇函数, ，即，则 当关于其他坐标面对称时有类似结论。 10、各类坐标系的选择 （1）当积分区域是圆柱形或圆锥形区域，或在某坐标面上的投影是圆域，被积函数具有的形式，常
3、采用柱坐标系。 （2）当积分区域是与球相关的区域，而被积函数具有的形式时，常采用球坐标。 （3）其他如平面或抛物面构成的区域，可选用直角坐标系。,一、二重积分的计算,1. 直角坐标系下二重积分的计算,2. 极坐标系下二重积分的计算,二、利用直角坐标计算二重积分,如果区域D可以表示为不等式 j1(x)yj2(x), axb, 则称区域D为X型区域.,X型区域与Y型区域,如果区域D可以表示为不等式 y1(y)xy2(y), cyd, 则称区域D为Y型区域.,有的区域既是X型区域又是Y型区域, 而有的区域既不是X型区域又不是Y型区域, 但它总可以表示为若干个X 型区域和Y型区域的并.,下页,如果D是
4、X型区域: D=(x, y)|j1(x)yj2(x), axb, 则,上式也可以记为,如果D是Y型区域: D=(x, y)|y1(y)xy2(y), cyd, 则,下页,二重积分的计算,先对x后对y 的二次积分,先对y后对x 的二次积分,解,画出区域D.,方法一, 把D看成是X型区域:,于是,D: 1x2, 1yx.,围成的闭区域,注,积分还可以写成,D: 1y2, yx2.,解,画出区域D.,方法二, 把D看成是Y型区域:,围成的闭区域,于是,分析,积分区域可表示为X型区域,D: 1y1, 1xy.,D: 1x1, xy1.,积分区域也可表示为Y型区域,及yx所围成的闭区域.,或,提问 哪个
5、二次积分容易计算？,解,积分区域可表示为X型区域,D: 1x1, xy1.,及yx所围成的闭区域.,分析,积分区域可表示为DD1+D2,其中,积分区域也可表示为,所围成的闭区域.,D: 1y2, y2xy2.,分析,积分区域可表示为DD1+D2,其中,积分区域也可表示为,D: 1y2, y2xy2.,所围成的闭区域.,提问 哪个二次积分容易计算？,解,积分区域可表示为,D: 1y2, y2xy2.,所围成的闭区域.,提示:,由对称性, 所求体积是第一卦限部分体积的8倍.,例4 求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.,解,设这两个圆柱面的方程分别为,x2y2R2及x2z2R2.,
6、所求立体的体积为,例4 求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.,解,设这两个圆柱面的方程分别为,x2y2R2及x2z2R2.,所求立体的体积为,补例：交换下列二次积分的积分次序,解：根据积分限可得积分区域,因为积分区域还可表示为：,三、利用极坐标计算二重积分,有些二重积分, 其积分区域D或其被积函数用极坐标变量 r、q 表达比较简单. 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分.,下页,在极坐标系下的二重积分,在极坐标系下二重积分的计算,如果积分区域可表示为 D: j1(q)j2(q), aqb, 则,提示,解,下页,为a的圆周所围成的闭区域,在极坐标系中 闭区域D可表示为 0
7、a 02 ,解,为a的圆周所围成的闭区域,在极坐标系中 闭区域D可表示为 0a 02 ,例6 求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积,解,由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍,在极坐标系中D可表示为,例6 求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积,解,由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍,在极坐标系中D可表示为,二、三重积分的计算,下页,1 利用直角坐标计算三重积分,(x y z)| z1(x y)zz2(x y) y1(x)yy2(x) axb,设积分区域为,平面x2yz1所围成的闭区域,区域可
8、表示为,解,先二重积分后定积分的方法,一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分 设积分区域为 (x y z)|(x y)Dz c1zc2 其中Dz是竖坐标为z的平面截空间闭区域所得到的一个平面闭区域 则,空间区域可表为,解,点的柱面坐标,2 利用柱面坐标计算三重积分,设M(x y z)为空间内一点 并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P( ) 则这样的三个数、 、z就叫做点M的柱面坐标 这里规定、 、z的变化范围为 0 02 z,直角坐标与柱面坐标的关系,xcos ysin zz,柱面坐标系中的体积元素,dvdddz,提示,简单来说 dxdy,dxdydz,dxdydz,
9、dddz,dd,柱面坐标系中的三重积分,下页,点的柱面坐标,2 利用柱面坐标计算三重积分,设M(x y z)为空间内一点 并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P( ) 则这样的三个数、 、z就叫做点M的柱面坐标 这里规定、 、z的变化范围为 0 02 z,直角坐标与柱面坐标的关系,xcos ysin zz,柱面坐标系中的体积元素,dvdddz,提示,的上边界曲面为z=4 下边界曲面为zx2y2 用极坐标可表示为z2 所以 2z4,提示,在xOy面上的投影区域为x2y24, 用极坐标可表示为: 02, 0q2.,下页,由曲面zx2y2与平面z4所围成的闭区域,闭区域可表示为,解,2z4,02
10、 02,这样的三个数r、叫做点M的球面坐标 这里r、的变化范围为 0r 0 02,下页,3 利用球面坐标计算三重积分,球面坐标系中的三重积分,点的球面坐标,直角坐标与球面坐标的关系,球面坐标系中的体积元素,dvr2sindrdd,设M(x y z)为空间内一点 则点M也可用这样三个有次序的数r、来确定 如图,xrsincos yrsinsin zrcos,提示,例4 求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积,解,该立体所占区域可表示为,0r2acos,于是所求立体的体积为,此球面的方程为x2y2(za)2a2 即x2y2z22az 在球面坐标下此球面的方程为r22arcos 即r
11、2acos,0 02,例4 求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积,解,该立体所占区域可表示为,于是所求立体的体积为,0r2acos,0 02,重积分计算的基本技巧,利用对称性或奇偶性简化计算,利用对称性和奇偶性,化简二重积分的计算,利用被积函数的奇偶性,常常使二重积分的计算简化许多,避免出现繁琐,的计算.,但在使用该方法时,要同时兼顾到被积函,面,常用结论如下:,(1),则有,其中,(2),则有,其中,(3),则,则,(4),例1,其中是,所围成的闭区域 .,提示: 被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数 ,利用,对称性可知原式为 0.,由球面,计算,其中积,分区域 由曲线
12、与 所围成.,解,令,因为 关于 轴,且,故,对称,求,其中,解,因为 关于 轴和 轴对称,且,于 为偶函数,注:,则要繁琐很多.,若直接在 上求二重积分,关于 或关,一、曲面的面积,二、质心（不要求）,三、转动惯量（不要求）,四、引力（不要求）,四、 重积分的应用,一、曲面的面积,曲面的面积 设曲面S的方程为zf(x, y), f(x, y)在区域D上具有连续偏导数, 则曲面S的面积为,曲面的面积元素 设曲面S的方程为zf(x y) f(x y)在区域D上具有连续偏导数 则曲面的面积元素为,曲面的面积公式:,讨论 (1)曲面xg(y z)的面积如何求？ (2)曲面yh(z x)的面积如何求？,提示,其中Dyz是曲面在yOz面上的投影区域,其中Dzx是曲面在zOx面上的投影区域,球面的面积A为上半球面面积的两倍,解,例1 求半径为R的球的表面积,提示,此积分的被积函数是无界的 因此这是一种反常积分,球面的面积A为上半球面面积的两倍,解,例1 求半径为R的球的表面积,谢谢大家！,
