《2017-2018学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用 2.2.3 新人教A版选修2-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用 2.2.3 新人教A版选修2-3（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.3 独立重复试验与二项分布,主题1独立重复试验 1.抛掷一枚质地均匀的硬币n次,每一次的试验结果受其他试验结果的影响吗? 提示:不会受其他结果的影响.,2.抛掷一枚质地均匀的骰子n次,每一次的试验结果受其他试验结果的影响吗?每次试验间有什么关系吗? 提示:不会受其他结果的影响,每次试验都是独立的,相互间没有关系.,3.以上两种试验为何每一次的试验结果都不会受其他试验结果的影响? 提示:因为每个试验都是在“相同的条件下”进行的.,结论: n次独立重复试验: 在_条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.,相同,【微思考】 1.在n次独立重复试验中,每次的试验的前提是什么? 提示:在同样
2、的条件下进行. 2.在n次独立重复试验中,每一次试验中的事件是否是相互独立的? 提示:各次试验中的事件是相互独立的.,3.在n次独立重复试验中,每一次的试验中某事件发生的概率是否相同? 提示:每次试验中某事件发生的概率是相同的.,主题2二项分布 连续掷一枚图钉3次,用Ai(i=1,2,3)表示事件“第i次掷得针尖向上”,且每次针尖向上的概率为p,Bk(k=0, 1,2,3)表示出现k次针尖向上,回答下列问题: (1)事件A1,A2,A3是否是相互独立事件? 提示:是相互独立事件.,(2)试写出事件B0,B1,B2,B3的概率. 提示:P(B0)=P( )=(1-p)3,P(B1)=P(A1 )
3、 +P( A2 )+P( A3)=3(1-p)2p, P(B2)=P(A1A2 )+P(A1 A3)+P( A2A3) =3(1-p)p2,P(B3)=P(A1A2A3)=p3.,(3)能否将上面四个概率写成一个通式? 提示:能.P(Bk)= pk(1-p)3-k,k=0,1,2,3.,结论: 二项分布 在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次 试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验 中,事件A恰好发生k次的概率为_, k=0,1,2,n.此时称随机变量X服从二项分布,记作 _,并称p为_.,P(X=k)= pk(1-p)n-k,XB(n,p),成功概率,【微思考】 1
4、.二项分布是一个离散型随机变量分布列吗? 提示:二项分布实际上试验结果只有发生、不发生两个,可用数字表示,所以是一个离散型随机变量概率分布列.,2.二项分布中就两个概率值对吗? 提示:不对,二项分布不同于两点分布,二项分布中有n+1个概率值,两点分布只有两个概率值.,【预习自测】 1.独立重复试验满足的条件是() 每次试验之间是相互独立的;每次试验只有发生与不发生两种情况;每次试验中发生的机会是均等的;每次试验发生的事件是互斥的. A. B. C. D.,【解析】选C.由独立重复试验的定义可知正确,而是错误的.,2.每次试验的成功率为p(0p1),重复进行10次试验, 其中前7次都未成功后3次
5、都成功的概率为() A. p3(1-p)7B. p3(1-p)3 C.p3(1-p)7D.p7(1-p)3,【解析】选C.成功率为p,则不成功的概率为(1-p),前7次都未成功概率为(1-p)7,后3次成功概率为p3,故C正确.,3.已知随机变量X服从二项分布,XB(6, ),则P(X=2) 等于() 【解析】选D.已知XB(6, ),P(X=k)= pk(1-p)n-k 当X=2,n=6,p= 时, 有P(X=2)=,4.随机变量X表示重复投掷一枚硬币n次正面向上的次数;有一批产品共有N件,其中M件是次品,采取有放回抽取的方法,则X表示n次抽取中出现次品的件数; 随机变量X为n次射击命中目标
6、的次数.上述三个随机变量X服从二项分布的是_.,【解析】由二项分布的定义可知:中的随机变量X均服从二项分布. 答案:,5.某射手每次射击击中目标的概率是 ,且各次射击 的结果互不影响.假设这名射手射击5次,则恰有2次击 中目标的概率为_.,【解析】设X为射手在5次射击中击中目标的次数,因为 每次射击击中目标的概率是 ,所以XB(5, ),所以 在5次射击中,恰有2次击中目标的概率P(X=2)= 答案:,6.某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都 是 ,求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概 率是多少?(结果保留两位有效数字)(仿照教材P57例3 的解析过程),【解析】记事件A=“
7、1小时内,1台机床需要人照管”, 1小时内5台机床需要照管相当于5次独立重复试验. 1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率P5(0)= 1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的 概率P5(1)= 所以1小时内5台机床中至少2 台需要工人照管的概率为P=1-P5(0)+P5(1)0.37.,类型一独立重复试验 【典例1】(1)将一枚硬币连掷5次,如果出现k次正面的概率等于出现k+1次正面的概率,那么k的值为() A.0B.1C.2D.3,(2)(2017贵阳高二检测)位于直角坐标原点的一个质 点P按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方 向向左或向右,并且向左移动的概率为 ,向右移动
8、的 概率为 ,则质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是 (),【解题指南】(1)先分析该试验是否符合独立重复试验的条件,然后再套用公式求解. (2)质点P移动5次,可理解为5次独立重复试验.,【解析】(1)选C.由 得 即k+(k+1)=5,所以k=2. (2)选D.依题意得,质点P移动五次后位于点(1,0),则这 五次移动中必有某两次向左移动,另三次向右移动,因 此所求的概率等于,【延伸探究】 1.若典例(2)中的条件不变,求移动五次后质点P位于点 (-1,0)的概率. 【解析】依题意得,质点P移动五次后位于点(-1,0), 则这五次移动中必有某两次向右移动,另三次向左移动, 因此所求的概
9、率等于,2.若典例(2)中的条件不变,问该质点能否位于(0,0)处? 【解析】不能.质点P按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向向左或向右;在这五次移动中,该质点向左或向右移动的次数不同且其起点为(0,0),所以,移动五次后,该质点不可能位于(0,0)处.,【方法总结】独立重复试验求概率的三个关注点 (1)关注判断问题中所涉及的试验是否为独立重复试验, 即条件相同,要么A发生,要么A不发生. (2)关注概率公式:P(X=k)= pk(1-p)n-k就是(1-p) +pn展开式中的第k+1项.,(3)关注“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰 有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都
10、发生” 等词语的意义.,【补偿训练】将一枚硬币抛掷6次,则正面出现的次数 比反面出现的次数多的概率为_.,【解析】由题意知,正面可以出现6次,5次,4次,所求概 率 答案:,类型二二项分布及其应用 【典例2】从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗, 假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且 概率都是 ,设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量X 的分布列.,【解题指南】根据二项分布的概率公式及相互独立事件的概率公式分别求随机变量X=0,1,2,3的概率即可.,【解析】依题意XB(3, ),则,所以X的分布列为,【方法总结】二项分布的解题步骤 (1)判断随机变量X是否服从二项分布. 看两点:
11、是否为n次独立重复试验;随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数.,(2)建立二项分布模型. (3)确定X的取值并求出相应的概率. (4)写出分布列.,【拓展延伸】二项分布、超几何分布的区别与联系 二项分布是由n次独立重复试验所得,超几何分布是由古典概型所得,这两种分布的关系是:在产品抽样中如果采用有放回抽样,则次品数服从二项分布,若采用不放回抽样,则次品数服从超几何分布.,超几何分布与二项分布的区别就在于是不放回抽样,还是有放回抽样.若产品总数N很大时,那么不放回抽样可以近似地看成有放回抽样. 因此,当N+时,超几何分布的极限分布就是二项分布,即当产品总数N很大时可用二项分布估计
12、超几何分布.,【巩固训练】 100件产品中有3件不合格品,每次取一件,有放回地抽取3次,求取得不合格品的件数X的分布列.,【解析】X可能取的值为0,1,2,3.由于是有放回地每次 取一件,连续取三次,所以这相当于做3次独立重复试验, 一次抽取到不合格品的概率p=0.03. 因此P(X=0)= 0.030(1-0.03)3=0.912673, P(X=1)= 0.031(1-0.03)2=0.084681, P(X=2)= 0.032(1-0.03)1=0.002619,P(X=3)= 0.033(1-0.03)0=0.000027. 分布列为:,【补偿训练】如果袋中有6个红球,4个白球,从中任取1球,记住颜色后放回,连续抽取4次,设X为取得红球的次数.求X的概率分布列.,【解析】采用有放回地取球,每次取得红球的概率都相 等,均为 ,取得的红球次数X可能的取值为0,1,2,3,4. 由以上分析,知随机变量X服从二项分布, P(X=k)= (k=0,1,2,3,4).,随机变量X的分布列为,【课堂小结】 1.知识总结,
