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1、第六章 平稳随机过程,6.1 平稳随机过程的概念,定义6.1 设X(t)，t T 是随机过程，对任意常数和正整数n， t1,t2, tnT, t1+, t2+,tn+ T， 若(X(t1), X(t2), , X(tn)与 (X(t1+), X(t2+), X(tn+) 有相同的联合分布，则称X(t)，t T 为严平稳过程，也称狭义平稳过程。,6.1 平稳随机过程的概念,定义6. 2 设X(t)，t T 是随机过程，并满足： (1)X(t)，t T 是二阶矩过程； (2)对任意t T ，mX(t)=EX(t)=常数； (3)对任意s, t T ， RX(s, t)=EX(s)X(t)=RX(t
2、-s)， 则称X(t)，t T 为宽平稳过程，也称广义平稳过程，简称平稳过程。 若T为离散集，称平稳过程Xn，nT 为平稳序列。,宽平稳过程 严平稳过程 严平稳过程 宽平稳过程 严平稳过程 宽平稳过程,正态过程,二阶矩存在,6.1 平稳随机过程的概念,例6.1 设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t), t0，且Y, Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2，试讨论随机过程X(t), t0的平稳性。 解,6.1 平稳随机过程的概念,所以X(t)，t T 为宽平稳过程。,6.1 平稳随机过程的概念,例6.2 设Xn,n=0, 1, 2,是实的互不相关随机变量序列，且EXn=0，DXn =2
3、，试讨论随机序列的平稳性。 解 因为EXn=0， 所以Xn,n=0, 1, 2,是平稳随机序列。,以上随机序列称为白噪声。,6.1 平稳随机过程的概念,例6.3 设状态连续、时间离散的随机过程X(t)=sin(2 t)，其中 是(0,1)上的均匀分布随机变量，t只取整数值1,2,，试讨论随机过程X(t)的平稳性。 解,6.1 平稳随机过程的概念,所以X(t) 是平稳过程。,注意：t只取整数值,10,平稳过程的概念与例,例6.4 设随机过程N(t),t0是具有参数的泊松过程, 随机过程X(t),t0定义为:若随机点在0,t内出现 偶数次(0也看作偶数),则X(t)=1;若出现奇数次,则X(t)=
4、-1,如图所示. (1)讨论随机过程X(t)的平稳性; (2)设随机变量V具有概率分布: P(V=-1=PV=1)=1/2.,x(t),t,o,1,-1,11,平稳过程的概念与例,且V与X(t)独立,令Y(t)=VX(t),试讨论随机过程Y(t)的 平稳性. 解: (1) 由于随机点N(t)是具有参数的泊松过程,故在 0,t内随机点出现k次的概率 Pk(t)=e-t ,k=0,1,2, 故 PX(t)=1=P0(t)+P2(t)+P4(t)+ =e-t1+ + + =e-tch(t), PX(t)=-1=P1(t)+P3(t)+P5(t)+ =e-tt+ + +,12,=e-tsh(t), 于
5、是 mX(t)=EX(t)=1e-tch(t)-1e-tsh(t) =e-tch(t)-sh(t) =e-te-t =e-2t. 为了求X(t)的相关函数,先求X(t1),X(t2)的联合分布: PX(t1)=x1,X(t2)=x2 = PX(t2)=x2|X(t1)=x1PX(t1)=x1, 其中xi=-1或1(i=1,2). 由上式知,需求PX(t1)=x1和PX(t2)=x2|X(t1)=x1. 设t2t1,令=t2-t1,因为事件PX(t1)=1,X(t2)=1等 价于事件X(t1)=1,且在(t1,t2内随机点出现偶数次.,13,由假设知,在X(t1)=1的条件下,在区间(t1,t2
6、内随机点 出现偶数次,与在区间(0,内随机点出现偶数次的概 率相等,故 PX(t2)=1|X(t1)=1=e-tch(t). 由于 PX(t1)=1= ch(t1), 所以 PX(t1)=1,X(t2)=1= ch(t1) ch(). 类似可得 PX(t1)=-1,X(t2)=-1= sh(t1) ch(), PX(t1)=-1,X(t2)=1= sh(t1) sh(), PX(t1)=1,X(t2)=-1= ch(t1) sh(). 因此 RX(t1,t2)=EX(t1)X(t2),14,平稳过程的概念与例,=11 ch(t1) ch() +(-1)(-1) sh(t1) ch() +(-1
7、)1 sh(t1) sh() +1(-1) ch(t1) sh() = ch(-t1)-sh(-t1) = = = . 当t2t1时,同理可得 RX(t1,t2)= = . 故对任意t1,t2有 RX(t1,t2)= = .,15,平稳过程的概念与例,由于mX(t)=e-2t与时间t有关,故X(t)不是平稳过程. 值得注意的是,就相关函数而言,非平稳过程的相关函数 也可以与时间的起点无关. (2)由于EV=0,EV2=1,故由V与X(t)独立知 EY(t)=EVEX(t)=0, RY(t,t-)=EV2EX(t)X(t-) = =RY(). 所以Y(t)是平稳过程,其相关系数RY()如图所示.
8、,RY(),o,16,6.2平稳过程及其相关函数的性质,一.相关函数的性质(实平稳过程),17,18,注：,19,20,21,6.2 联合平稳随机过程,定义6.4 设X(t)，t T 和Y(t)，t T 是两个平稳过程，若它们的互相关函数EX(t)Y(t-)及EY(t)X(t-)仅与有关，而与t无关，即 RXY(t, t-)=EX(t)Y(t-)=RXY() RYX(t, t-)=EY(t)X(t-)=RYX() 则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。,6.2 联合平稳随机过程,命题：当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程 时，W(t)=X(t)+Y(t)是平稳随机过程。 事实上，EW(t
9、)=EX(t)+EY(t)=常数，,24,6.2 联合平稳随机过程,例6.4 设X(t)=Asin(t+ )， Y(t)=Bsin( t+ -)为两个平稳过程，其中A,B, 是常数， 是(0,2)上的均匀分布随机变量， 证明：X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。 证明：,6.2 联合平稳随机过程,6.2 联合平稳随机过程,所以X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。,6.3 随机分析简介（了解）,随机序列Xn 实际上代表一族上式的序列。,29,30,31,32,6.3 随机分析简介,定义6.6 设有二阶矩过程X(t),tT，若对每一个tT ，有 则称X(t)在t点均方连续，记作 若对T中的一切
10、点都均方连续，则称X(t)在T上均方连续。,34,6.4 平稳过程的各态历经性,在实际工作中，确定随机过程的均值函数 和自相关函数等数字特征很重要，然而要求这 些数字特征需知一维、二维分布函数，而这些分布在实际问题中没给出，为此，只能用统计 实验的方法对观察数据进行估计，如可把均值 和自相关函数近似表示为：,35,36,37,6.4 平稳过程的遍历性,定义6.9 设 X(t), -t 是均方连续的平稳过程，则 时间均值 时间相关函数,39,6.4 平稳过程的遍历性,定义6.11 如果均方连续的平稳过程X(t), -t的均值和相关函数都具有遍历性，则称该平稳过程具有遍历性。 例6.9 设随机相位过程X(t)=acos(t+ )，a, 为常数， 为服从(0,2)上均匀分布的随机变量，讨论X(t)的遍历性。 解,6.4 平稳过程的遍历性,6.4 平稳过程的遍历性,6.4 平稳过程的遍历性,6.4 平稳过程的遍历性,例6.7 讨论随机过程X(t)=Y的遍历性，其中Y是方差不为零的随机变量。,6.4 平稳过程的遍历性,46,47,48,49,50,51,52,53,
