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1、配餐作业(十七)导数与函数的零点(时间：40分钟)1已知函数f(x)x33ax1，a0。(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。解析(1)f(x)3x23a3(x2a)，当a0；所以当a0时，由f(x)0，解得x。由f(x)0，解得x0时，f(x)的单调递增区间为(，)，(，)，单调递减区间为(，)。(2)因为f(x)在x1处取得极值，所以f(1)3(1)23a0，所以a1。所以f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0，解得x11，x21。由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1
2、)1，在x1处取得极小值f(1)3。因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图象可知，实数m的取值范围是(3,1)。答案(1)见解析(2)(3,1)2已知f(x)x23x1，g(x)x。(1)a2时，求yf(x)和yg(x)的公共点个数；(2)a为何值时，yf(x)和yg(x)的公共点个数恰为两个。解析(1)a2时，由得x23x1x，整理得x3x2x20(x1)。令yx3x2x2，求导得y3x22x1，令y0，得x11，x2，故得极值分别在x1和x处取得，且极大值、极小值都是负值。所以x3x2x20的解只有一个，即yf(x)与yg(x)的公共点只有一个。(2)
3、由得x23x1x，整理得ax3x2x(x1)，令h(x)x3x2x，联立h(x)0可以得到极值点分别是x1和x，画出草图，如图所示，h(1)1，h，当ah(1)1时，ya与yh(x)仅有一个公共点(因为(1,1)点不在yh(x)曲线上)，故a时恰有两个公共点。答案(1)一个(2)3设函数f(x)aex(x1)(其中e2.718 28)，g(x)x2bx2，已知它们在x0处有相同的切线。(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；(2)求函数f(x)在t，t1(t3)上的最小值；(3)判断函数F(x)2f(x)g(x)2的零点个数。解析(1)f(x)aex(x2)，g(x)2xb。由题意，两函数在x
4、0处有相同的切线，f(0)2a，g(0)b。2ab，f(0)ag(0)2，a2，b4。f(x)2ex(x1)，g(x)x24x2。(2)由(1)得f(x)2ex(x2)。由f(x)0得x2，由f(x)0得x3，t12。当3t2时，f(x)在t，2上单调递减，在2，t1上单调递增，f(x)minf(2)2e2。当t2时，f(x)在t，t1上单调递增，f(x)minf(t)2et(t1)。当3t0得xln2或x2，由F(x)0得2x0，F(4)4e4(41)161612e40)。(1)求f(x)的极值；(2)若k2 016，关于x的方程f(x)2ax有唯一解，求a的值。解析(1)定义域为(0，)，
5、f(x)2x(1)k2a，当k为奇数时，f(x)2x0，f(x)在(0，)上单调递增，f(x)无极值；当k为偶数时，f(x)2x，f(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，f(x)有极小值，f(x)极小值f()a2alnaalna。(2)k2 016，则f(x)x22alnx，令g(x)x22alnx2ax，g(x)2x2a(x2axa)，令g(x)0，x2axa0，a0，x0，x0。当x(0，x0)时，g(x)0，g(x)在(x0，)上单调递增，又g(x)0有唯一解，即两式相减得2alnx0ax0a02lnx0x010，解得x01，a。答案(1)当k为奇数时，f(x)无极值；当k为偶
6、数时，f(x)无极大值有极小值aalna(2)(时间：20分钟)1设函数f(x)x3x2(m21)x(xR)，其中m0。(1)当m1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调区间与极值；(3)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1f(1)恒成立，求实数m的取值范围。解析(1)当m1时，f(x)x3x2，f(x)x22x，故f(1)1，即曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为1。(2)f(x)x22xm21x(1m)x(1m)，令f(x)0，得x1m或x1m，m0，故1m1m，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：x(，1
7、m)1m(1m,1m)1m(1m，)f(x)00f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以f(x)的单调递减区间是(，1m)，(1m，)，单调递增区间是(1m,1m)，于是函数f(x)在x1m处取得极小值f(1m)m3m2；在x1m处取得极大值f(1m)m3m2。(3)由题设知f(x)x x(xx1)(xx2)，所以方程x2xm210有两个相异的非零实根x1，x2，故由根与系数的关系得x1x23且1(m21)0，解得m或m(舍去)，因为x1x1x23x21，若x110，而f(x1)0，不合题意，若1x10，xx10，xx20，所以f(x)x(xx1)(xx2)0。又f(x1)f(x2)0
8、，故f(x)在x1，x2上的最小值为0，于是对xx1，x2，f(x)f(1)恒成立，得f(1)m20m。综上，实数m的取值范围是。答案(1)1(2)见解析(3)2(2016全国卷)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点。(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x20，则当x(，1)时，f(x)0，所以f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增。又f(1)e，f(2)a，取b满足b0且b(b2)a(b1)2a0，故f(x)存在两个零点。设a0，因此，f(x)在(1，)上单调递增。又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点。若a1，故当x(1，ln(2a)时，f(x)0。因此f(x)在(1，ln(2a)上单调递减，在(ln(2a)，)上单调递增。又当x1时f(x)0，所以f(x)不存在两个零点。综上，a的取值范围为(0，)。(2)不妨设x1x2。由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，又f(x)在(，1)上单调递减，所以x1x2f(2x2)，即f(2x2)1时，g(x)1时，g(x)0。从而g(x2)f(2x2)0，故x1x22。答案(1)(0，)(2)见解析6
