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1、【2019最新】精选高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2-10变化率与导数导数的计算课时提升作业理(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=x2cosx在x=1处的导数是()A.0B.2cos1-sin1C.cos1-sin1D.1【解析】选B.因为y=(x2cosx)=(x2)cosx+x2(cosx)=2xcosx-x2sinx,所以y|x=1=2cos1-sin1.2.已知f(x)=x(2014+lnx),f(x0)=2015,则x0=()A.e2B.1C.ln2D.e【解析】选B.由题意可知f(x)=2014+lnx+x=2015+lnx.由f(x0)=201
2、5,得lnx0=0,解得x0=1.3.已知函数f(x)=ex,则当x1B.D.4.(2016临川模拟)若幂函数f(x)=mx的图象经过点A,则它在点A处的切线方程是()A.2x-y=0B.2x+y=0C.4x-4y+1=0D.4x+4y+1=0【解析】选C.根据函数f(x)=mx为幂函数,所以m=1,根据图象经过点A,则有=,所以f(x)=,f(x)=,f=1,根据直线方程的点斜式,求得切线方程是4x-4y+1=0.【加固训练】(2016保定模拟)已知曲线y=lnx的切线过原点,则此切线的斜率为()A.eB.-eC.D.-【解析】选C.y=lnx的定义域为(0,+),设切点为(x0,y0),则
3、k=y=,所以切线方程为y-y0=(x-x0),又切线过点(0,0),代入切线方程得y0=1,则x0=e,所以k=y=.5.(2016泸州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于()A.-1或-B.-1或C.-或-D.-或7【解题提示】点(1,0)不在曲线y=x3上,只是曲线y=x3的特定切线经过点(1,0),故设出切点坐标,写出切线方程,把点(1,0)代入切线方程求得切点坐标,得出切线方程后,再根据切线与y=ax2+x-9相切求出a值.【解析】选A.设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,),所以切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2
4、,又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=,当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切可得a=-,当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切可得a=-1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016湖南十二校联考)若函数f(x)=lnx-f(-1)x2+3x-4,则f(1)=.【解析】因为f(x)=-2f(-1)x+3,所以f(-1)=-1+2f(-1)+3,解得f(-1)=-2,所以f(1)=1+4+3=8.答案:8【加固训练】已知f(x)=x2+2xf(2014)+2014lnx,则f(2014)=.【解析】由题意得f(x)=x+2f(2014)+,所以f(2014)=2014
5、+2f(2014)+,即f(2014)=-(2014+1)=-2015.答案:-20157.(2016昆明模拟)函数f(x)=的图象在点(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于.【解析】f(x)=,则f(-1)=-4,故该切线方程为y=-4x-2,切线在x,y轴上的截距分别为-,-2,故所求三角形的面积为.答案:8.已知函数f(x)=ex-mx+1的图象为曲线C,若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则实数m的取值范围是.【解析】由题意可得f(x)=ex-m,由于曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则ex-m=-有解,即m=ex+,而ex0,故m.答案:【加固训练】设曲线y=在点处的
6、切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等于.【解析】因为y=,所以y=-1,由条件知=-1,所以a=-1.答案:-1三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知点M是曲线y=x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程.(2)切线l的倾斜角的取值范围.【解析】(1)y=x2-4x+3=(x-2)2-1-1,所以当x=2时,y=-1,y=,所以斜率最小的切线过点,斜率k=-1,所以切线方程为x+y-=0.(2)由(1)得k-1,所以tan-1,所以.10.已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,bR).(1)若函数f(x)的图象过
7、原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值.(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.【解析】f(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).(1)由题意得解得b=0,a=-3或a=1.(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,所以关于x的方程f(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,所以=4(1-a)2+12a(a+2)0,即4a2+4a+10,所以a-.所以a的取值范围为.(20分钟40分)1.(5分)(2016秦皇岛模拟)下面四个图象中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(aR)的导函数y=f(x)的
8、图象,则f(-1)=()A.B.-C.D.-或【解析】选D.因为f(x)=x2+2ax+a2-1,所以f(x)的图象开口向上,则排除.若f(x)的图象为,此时a=0,f(-1)=;若f(x)的图象为,此时a2-1=0,又对称轴x=-a0.所以a=-1,所以f(-1)=-.2.(5分)(2016衡阳模拟)设aR,函数f(x)=ex+ae-x的导函数是f(x),且f(x)是奇函数,若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为()A.ln2B.-ln2C.D.-【解析】选A.对f(x)=ex+ae-x求导得f(x)=ex-ae-x.又f(x)是奇函数,故f(0)=1-a=0,解得a=1,故
9、有f(x)=ex-e-x,设切点为(x0,y0),则f(x0)=-=,得=2或=-(舍去),得x0=ln2.【加固训练】(2016广州模拟)已知曲线C:f(x)=x3-ax+a,若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线,它们的倾斜角互补,则a的值为()A.B.-2C.2D.-【解析】选A.设切点坐标为(t,t3-at+a).由题意知,f(x)=3x2-a,切线的斜率为k=f(t)=3t2-a,所以切线方程为y-(t3-at+a)=(3t2-a)(x-t).将点(1,0)代入式得-(t3-at+a)=(3t2-a)(1-t),解之得t=0或t=.分别将t=0和t=代入式,得k=-a和k=-
10、a,由题意知它们互为相反数,得a=.3.(5分)(2016开封模拟)若函数f(x)=|lnx|-mx恰有3个零点,则m的取值范围是.【解析】令f(x)=|lnx|-mx=0,得到函数y=|lnx|与y=mx,它们在同一平面直角坐标系内的图象如下:当x1时,y=lnx,y=,设两个函数相切,此时切点为(x0,y0),则有解得m=,结合图象得,欲使有三个零点,则需满足:m.答案:4.(12分)已知函数f(x)=x-,g(x)=a(2-lnx)(a0).若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率相同,求a的值.并判断两条切线是否为同一条直线.【解析】根据题意有:曲线y=f(x)在x=1
11、处的切线斜率为f(1)=3,曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率为g(1)=-a.所以f(1)=g(1),即a=-3.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-f(1)=3(x-1),得y+1=3(x-1),即切线方程为3x-y-4=0.曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为y-g(1)=3(x-1),得y+6=3(x-1),即切线方程为3x-y-9=0,所以两条切线不是同一条直线.5.(13分)(2016厦门模拟)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式.(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直
12、线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.【解析】(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.当x=2时,y=.又f(x)=a+,于是解得故f(x)=x-.(2)设P(x0,y0)为曲线y=f(x)上任一点,由y=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-=(x-x0).令x=0得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.- 8 - / 8
