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1、【2019最新】精选高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2讲导数的应用第3课时导数与函数的综合问题练习理北师大基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.方程x36x29x100的实根个数是()A.3 B.2 C.1 D.0解析设f(x)x36x29x10，f(x)3x212x93(x1)(x3)，由此可知函数的极大值为f(1)60，极小值为f(3)100，所以方程x36x29x100的实根个数为1.答案C2.若存在正数x使2x(xa)1成立，则实数a的取值范围是()A.(，) B.(2，)C.(0，) D.(1，)解析2x(xa)1，ax.令f(x)x，f(x)12xln 20.f(x)
2、在(0，)上单调递增，f(x)f(0)011，实数a的取值范围为(1，).答案D3.(2017山东省实验中学诊断)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)xf(x)0，则()A.3f(1)f(3)C.3f(1)f(3) D.f(1)f(3)解析由于f(x)xf(x)，则0恒成立，因此在R上是单调递减函数，f(3).答案B4.(2017德阳模拟)方程f(x)f(x)的实数根x0叫作函数f(x)的“新驻点”，如果函数g(x)ln x的“新驻点”为a，那么a满足()A.a1 B.0a1C.2a3 D.1a2解析g(x)，ln x.设h(x)ln x，则h(x)在(0，)上为增函数.又h(1)10，h
3、(x)在(1，2)上有零点，1a2.答案D5.(2017宝鸡联考)已知函数f(x)的定义域为1，4，部分对应值如下表：x10234f(x)12020f(x)的导函数yf(x)的图像如图所示.当1a2时，函数yf(x)a的零点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析根据导函数图像，知2是函数的极小值点，函数yf(x)的大致图像如图所示.由于f(0)f(3)2，1a2，所以yf(x)a的零点个数为4.答案D二、填空题6.已知函数yx33xc的图像与x轴恰有两个公共点，则c_.解析设f(x)x33xc，对f(x)求导可得，f(x)3x23，令f(x)0，可得x1，易知f(x)在(，1)，(1，
4、)上单调递增，在(1，1)上单调递减，若f(1)13c0，可得c2；若f(1)13c0，可得c2.答案2或27.若函数f(x)axln x在上单调递增，则实数a的取值范围为_.解析由已知得f(x)a0对x恒成立，a对x恒成立，2，a2.答案2，)8.(2017安徽江南名校联考)已知x(0，2)，若关于x的不等式0.即kx22x对任意x(0，2)恒成立，从而k0，因此由原不等式，得k0，函数f(x)在(1，2)上单调递增，当x(0，1)时，f(x)0，函数f(x)在(0，1)上单调递减，所以k1时，令g(x)0解得xea11.当0xea11时，g(x)ea11时，g(x)0，g(x)在(0，ea
5、11)上递减，在(ea11，)上递增，g(ea11)1时，不是对所有的x0，都有f(x)ax成立.综上，由(1)(2)可知，实数a的取值范围是(，1.10.(2017武汉调研)已知函数f(x)ln x(aR).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：不等式(x1)ln x2(x1)对x(1，2)恒成立.(1)解定义域为(0，)，f(x).a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上为增函数；a0时，f(x)在(a，)上为增函数，在(0，a) 上为减函数.(2)证明法一x(1，2)，x10，要证原不等式成立，即证ln x对x(1，2)恒成立，令g(x)ln x，g(x)0，g(x)在(0，)上为
6、增函数，当x(1，2)时，g(x)g(1)ln 10，ln x对x(1，2)恒成立，(x1)ln x2(x1)对x(1，2)恒成立.法二令F(x)(x1)ln x2(x1)，F(x)ln x2，ln x.令(x)ln x，由(1)知a1时，(x)在(0，1)上为减函数，在(1，)上为增函数.x(1，2)，则(x)在(1，2)为增函数，(x)(1)0，即x(1，2)，F(x)0，F(x)在(1，2)上为增函数，F(x)F(1)0，(x1)ln x2(x1)对x(1，2)恒成立.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.函数f(x)3x2ln x2x的极值点的个数是()A.0 B.1 C.2 D.无
7、数个解析函数定义域为(0，)，且f(x)6x2，由于x0，g(x)6x22x1中200恒成立，故f(x)0恒成立，即f(x)在定义域上单调递增，无极值点.答案A12.(2014全国卷)已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则实数a的取值范围是()A.(2，) B.(，2)C.(1，) D.(，1)解析法一由题意a0，由f(x)3ax26x0得x0或x.当a0时，f(x)在(，0)和上单调递增，在上单调递减.且f(0)10，故f(x)有小于0的零点，不符合题意，排除A，C.当a0且唯一，只需f0，即a24，a2，故选B.法二f(x)有唯一正零点x0，等价于方程a
8、x33x210有唯一正根x0，即a有唯一正根x0.令g(x)，g(x)，g(x)在(，1)上递减，(1，0)上递增，(0，1)上递增，(1，)上递减.又g(1)2，g(1)2，且当x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)的大致图像如图：直线ya与yg(x)有唯一交点，且横坐标x00，只需ag(1)2.答案B13.(2017西安模拟)定义域为R的可导函数yf(x)的导函数f(x)，满足f(x)f(x)，且f(0)2，则不等式f(x)2ex的解集为()A.(，0) B.(，2)C.(0，) D.(2，)解析设g(x)，则g(x)，f(x)f(x)，g(x)0，g(x)在R上为减函数，f(0)2，
9、g(0)f(0)2，f(x)2ex，2，即g(x)0，不等式的解集为(0，).答案C14.(2017广州调研)已知函数f(x)exmx，其中m为常数.(1)若对任意xR有f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)当m1时，判断f(x)在0，2m上零点的个数，并说明理由.解(1)依题意，可知f(x)exm1，令f(x)0，得xm.故当x(，m)时，exm1，f(x)1，f(x)0，f(x)单调递增.故当xm时，f(m)为极小值也是最小值.令f(m)1m0，得m1，即对任意xR ，f(x)0恒成立时，m的取值范围是(，1.(2)f(x)在0，2m上有两个零点，理由如下：当m1时，f(m)1m0，f(0)f(m)1时，g(m)em20，g(m)在(1，)上单调递增.g(m)g(1)e20，即f(2m)0.f(m)f(2m)0，f(x)在(m，2m)上有一个零点.故f(x)在0，2m上有两个零点.7 / 7
