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1、【2019最新】精选高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4-4简单的三角恒等变换学案理考纲展示能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆考点1三角函数式的化简与证明倍角公式与半角公式变形(1)答案：2sin22cos212sin 22cos21(2)1sin 2；1cos 2cos2；1cos 2sin2；tan .(3)辅助角公式asin xbcos xsin(x)，其中sin _，cos _ .答案：倍角公式中的特殊情形判断正误：(1)存在实数，使cos 22cos .()(2
2、)存在实数，使sin 22sin .()(3)存在实数，使tan 22tan .()答案：(1)(2)(3)典题1(1)2017湖北随州模拟已知，且2sin2sin cos 3cos20，则_.答案解析由2sin2sin cos 3cos20，得(2sin 3cos )(sin cos )0，sin cos 0，2sin 3cos ，又sin 2cos21，cos ，sin ，.(2)化简：sin2sin2cos2cos2cos 2cos 2_.答案解析解法一：原式cos 2cos 2(1cos 2cos 2cos 2cos 2)(1cos 2cos 2cos 2cos 2)cos 2cos
3、2.解法二：原式(sin sin cos cos )22sin sin cos cos cos 2cos 2cos2()sin 2sin 2cos 2cos 2cos2()cos (22)cos2()2cos2()1.点石成金三角函数式化简的原则与方法(1)三角函数式的化简遵循的三个原则一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等(2)三角函数式化简的方
4、法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次(3)化简三角函数式的常用技巧注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；对于二次根式，注意倍角公式的逆用；注意利用角与角之间的隐含关系；注意利用“1”的恒等变形.证明下列各式：(1)已知：2sin sin cos ，sin22sin cos ，求证：2cos 2cos2；(2)已知：5sin 3sin(2)，求证：tan()4tan 0.证明：(1)由已知可得4sin212sin c
5、os 1sin2，1sin224sin22(12sin2)由此得cos22cos 2，故要证的等式成立(2)把5sin 3sin(2)化成5sin ()3sin ()，得5sin()cos 5cos ()sin 3sin()cos 3cos ()sin .移项合并得2sin()cos 8cos ()sin 0.依题意k且k，kZ，则cos ()cos 0.上式两边都除以2cos cos ()，即得tan ()4tan 0.考点2三角函数式的求值考情聚焦研究三角函数式的求值，解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的特点，选择适当的公式进行求解，在高考中是一个热点考查方向主要有
6、以下几个命题角度：角度一给值求值典题2设为第二象限角，若tan，则sin cos _.答案解析tan tan ，sin cos ，将其代入sin2cos21，得cos21，cos2，又易知cos 0，cos ，sin ，故sin cos .角度二给角求值典题34cos 50tan 40()A. B. C. D21答案C解析4cos 50tan 404cos 50.角度三给值求角典题42017山东济南模拟已知0，tan ，cos().(1)求sin 的值；(2)求的值解(1)因为tan ，所以sin sin 2sin cos .(2)因为0，sin ，所以cos .又0，所以0.由cos ()，
7、得0.所以sin()，所以sin sin ()sin()cos cos ()sin .由，得.点石成金三角函数式求值的常见题型及求解策略(1)给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：先化简所求式子；观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；将已知条件代入所求式子，化简求值(2)给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解(3)给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：已知正切函
8、数值，则选正切函数已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好考点3三角恒等变换的综合应用考情聚焦利用三角恒等变换将三角函数式化简后研究其图象与性质是高考中的热点，常与三角函数的其他知识(如图象平移变换、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性)相结合命题题目难度适中，属中档题主要有以下几个命题角度：角度一三角恒等变换与三角函数性质的综合典题5已知函数f(x)5sin xcos x5cos2x(其中xR)，求：(1)函数f(x)的最小正周期；(2)函数f(x)的单调区间；(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心解
9、(1)因为f(x)sin 2x(1cos 2x)55sin ，所以函数的最小正周期T.(2)由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以函数f(x)的增区间为(kZ)由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以函数f(x)的减区间为(kZ)(3)由2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)的对称轴方程为x(kZ)由2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)的对称中心为(kZ)点石成金利用三角恒等变换将三角函数式化为yAsin(x)的形式，再求其周期、单调区间、最值等，一直是高考的热点考向，解决此类问题需要注意以下问题：(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f(x)Asin(x)的
10、形式再求解要注意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期角度二三角恒等变换与三角形的综合典题6在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csin Aacos C，则sin Asin B的最大值是()A1 B. C. D3答案C解析由csin Aacos C，得sin Csin Asin Acos C，又在ABC中，sin
11、 A0，所以sin Ccos C，tan C，C(0，)，所以C.所以sin AsinBsin Asin sin Acos Asin ，A，所以当A时，sin AsinB取得最大值，故选C.点石成金三角恒等变换经常出现在解三角形中，与正弦定理、余弦定理相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等，是高考热点内容 根据所给条件解三角形时，主要有两种途径： (1)利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解； (2)利用正、余弦定理把边的关系化成角的关系再用三角恒等变换化简求解角度三三角恒等变换与向量的综合典题72017安徽合肥二检
12、已知m，n(cos x,1)(1)若mn，求tan x的值；(2)若函数f(x)mn，x0，求f(x)的单调递增区间解(1)由mm，得sincos x0，展开变形，可得sin xcos x，即tan x.(2)f(x)mnsin，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.又x0，所以当x0，时，f(x)的单调递增区间为和. 真题演练集训 12016新课标全国卷若cos，则sin 2()A. B. C D答案：D解析：因为cos cos cos sin sin (sin cos )，所以sin cos ，所以1sin 2，所以sin 2，故选D.22014新课标全国卷设，且tan ，则()A3 B2C3 D2答案：B解析：解法一：由tan ，得，即sin cos cos cos sin ，sin()cos sin .，由sin()sin ，得
