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1、【2019最新】精选高考数学一轮复习第5章数列第2节等差数列及其前n项和教师用书文新人教A版考纲传真1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列用符号表示为an1and(nN*，d为常数)(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d，anam(nm
2、)d.(2)前n项和公式：Snna1.3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN
3、*，都有2an1an an2.()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()答案(1)(2)(3)(4)2等差数列an的前n项和为Sn，且S36，a30，则公差d等于()A1B1C2D2D依题意得S33a26，即a22，故da3a22，故选D.3(2015全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5()A5B7C9D11Aa1a3a53a33a31，S55a35.4(2016全国卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A100B99C98D97C法一：an是等差数列，设其公差为d，S9
4、(a1a9)9a527，a53.又a108，a100a199d199198.故选C.法二：an是等差数列，S9(a1a9)9a527，a53.在等差数列an中，a5，a10，a15，a100成等差数列，且公差da10a5835.故a100a5(201)598.故选C.5(教材改编)在100以内的正整数中有_个能被6整除的数16由题意知，能被6整除的数构成一个等差数列an，则a16，d6，得an6(n1)66n.由an6n100，即n1616，则在100以内有16个能被6整除的数等差数列的基本运算(1)(2015全国卷)已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S84S4，则a10(
5、)A.B.C10D12(2)(2017云南省二次统一检测)设等差数列an的前n项和为Sn，S1122，a412，若am30，则m()A9B10C11D15(1)B(2)B(1)公差为1，S88a118a128，S44a16.S84S4，8a1284(4a16)，解得a1，a10a19d9.(2)设等差数列an的公差为d，依题意解得ama1(m1)d7m4030，m10.规律方法1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用2数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常
6、用方法，称为基本量法变式训练1(1)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足1，则数列an的公差是()A.B1C2D3(2)设Sn为等差数列an的前n项和，a128，S99，则S16_. 【导学号：31222176】(1)C(2)72(1)Sn，又1，得1，即a3a22，数列an的公差为2.(2)设等差数列an的首项为a1，公差为d，由已知，得解得S16163(1)72.等差数列的判定与证明已知数列an中，a1，an2(n2，nN*)，数列bn满足bn(nN*)(1)求证：数列bn是等差数列(2)求数列an中的通项公式an.解(1)证明：因为an2(n2，nN*)，bn.所以n2时，bnbn1
7、1.5分又b1，所以数列bn是以为首项，1为公差的等差数列.7分(2)由(1)知，bnn，9分则an11.12分规律方法1.判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断2用定义证明等差数列时，常采用两个式子an1and和anan1d，但它们的意义不同，后者必须加上“n2”，否则n1时，a0无定义变式训练2(1)若an是公差为1的等差数列，则a2n12a2n是() 【导学号：31222177】A公差为3的等差数列B公差为4的等差数列C公差为6的等差数列D公差为9的等差数列(2)在数列an中，若a11，a2，(nN*)，则该数列的通
8、项为()AanBanCanDanA由已知式可得，知是首项为1，公差为211的等差数列，所以n，即an.(1)C(2)480(1)a2n12a2n(a2n32a2n2)(a2n1a2n3)2(a2na2n2)2226，a2n12a2n是公差为6的等差数列(2)由已知SnSn12可得，2，所以是以1为首项，2为公差的等差数列，故2n1，Sn(2n1)2，所以a61S61S6012121192480.等差数列的性质与最值(1)(2017东北三省四市一联)如图521所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a52()图521A2B8C7D4(2)等差数列an中，设
9、Sn为其前n项和，且a10，S3S11，则当n为多少时，Sn取得最大值(1)C法一：第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a41a42a433a42，同理第二行也有a51a52a533a52，第三行也有a61a62a633a62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a42a52a623a52，所以a41a42a43a51a52a53a61a62a633a423a523a6233a5263，所以a527，故选C.法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这9个数均相同，显然满足题意，所以有6397，即a527，故选C.(2)法一：由S3S11，可得3a1d11a1d，4分即da1.7
10、分从而Snn2n(n7)2a1，因为a10，所以0，S3S11可知d0，a80，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.变式训练3(1)在等差数列an中，a3a927a6，Sn表示数列an的前n项和，则S11()A18B99C198D297(2)设等差数列an的前n项和为Sn，且S510，S1030，则S15()A60B70C90D40A因为数列an为等差数列，所以S5，S10S5，S15S10也成等差数列，设S15x，则10,20，x30成等差数列，所以22010(x30)，所以x60，即S1560.(1)B(2)20(1)因为a3a9
11、27a6,2a6a3a9，所以3a627，所以a69，所以S11(a1a11)11a699.(2)法一：设数列an的公差为d，则a7a8a9a16da26da36d518d10，所以18d5，故a19a20a21a712da812da912d1036d20.法二：由等差数列的性质，可知S3，S6S3，S9S6，S21S18成等差数列，设此数列公差为D.所以52D10，所以D.所以a19a20a21S21S1856D51520.思想与方法1等差数列的通项公式，前n项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a1和d.(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a2d，ad，a，ad，a2d，.(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a3d，ad，ad，a3d，.2等差数列an中，ananb(a，b为常数)，SnAn2Bn(A，B为常数)，均是关于“n”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程3等差数列的四种判断方法：(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1
