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1、【2019最新】精选高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系学案板块一知识梳理自主学习必备知识考点2圆与圆的位置关系(O1、O2半径r1、r2，d|O1O2|)必会结论1关注一个直角三角形当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形2圆心在过切点且垂直于切线的直线上3两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2y2D1xE1yF10，圆C2：x2y2D2xE2yF20，若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由所得，即：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.4两圆相切时，切点与两圆心三点共线5两圆不同的位置关系与对应公切线的条
2、数(1)两圆外离时，有4条公切线；(2)两圆外切时，有3条公切线；(3)两圆相交时，有2条公切线；(4)两圆内切时，有1条公切线；(5)两圆内含时，没有公切线考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件()(2)过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.()(3)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(4)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(5)“m0”是“直线xym0与圆(x1)2(y1)22相切”的充分不必要条件()答案(1)(2)(3)(4
3、)(5)2课本改编直线l：xy10与圆C：x2y24x2y10的位置关系是()A相离 B相切C相交且过圆心 D相交但不过圆心答案D解析圆的方程化为(x2)2(y1)24，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线l的距离为2，所以直线l与圆相交又圆心不在直线l上，所以直线不过圆心故选D.3在平面直角坐标系xOy中，直线3x4y50与圆x2y24相交于A，B两点，则弦AB的长为()A3 B2 C. D1答案B解析圆心(0,0)到直线3x4y50的距离d1，因为222123，所以|AB|2.4课本改编圆x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为()Axy20 Bxy40Cxy40 Dxy20答案D解析
4、圆的方程为(x2)2y24，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上，由题可知切线的斜率存在，设切线方程为yk(x1)，即kxyk0，2，解得k.切线方程为y(x1)，即xy20.52018重庆模拟圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系是()A相离 B相交 C外切 D内切答案B解析圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r11，圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r22，故两圆的圆心距d，而r2r11，r1r23，则有r2r1dr1r2，故两圆相交62018温州十校联考对任意的实数k，直线ykx1与圆C：x2y22x20的位置关系是()A相离 B相切C相交 D以上三个选项均有可
5、能答案C解析直线ykx1恒经过点A(0，1)，圆x2y22x20的圆心为C(1,0)，半径为，而|AC|0，所以直线l与圆C相交故选A.解法二：因为圆心(0,1)到直线l的距离d1，故直线l与圆相交选A.解法三：直线l：mxy1m0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆C：x2(y1)25的内部，所以直线l与圆C相交故选A.触类旁通判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法(1)代数法：(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr相离【变式训练1】2018深圳模拟已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切 B相交 C相离 D不确定答案B解
6、析因为M(a，b)在圆O：x2y21外，所以a2b21，而圆心O到直线axby1的距离d4，所以点M在圆C外部当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x3，即x30.又点C(1,2)到直线x30的距离d312r，即此时满足题意，所以直线x3是圆的切线当切线的斜率存在时，设切线方程为y1k(x3)，即kxy13k0，则圆心C到切线的距离dr2，解得k.所以切线方程为y1(x3)，即3x4y50.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x30或3x4y50.因为|MC|，所以过点M的圆C的切线长为1.触类旁通圆的切线有关的结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2.(2)
7、过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A、B两点的直线方程为x0xy0yr2.(4)过圆x2y2DxEyF0(D2E24F0)外一点P(x0，y0)引圆的切线，切点为T，则切线长为|PT|.(5)过圆C：(xa)2(yb)2r2(r0)外一点P(x0，y0)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(6)若圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则过圆外一点P(x0，y0)的切线长d.【
8、变式训练2】2015广东高考平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是()A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy0或2xy0答案A解析设与直线2xy10平行的直线方程为2xym0(m1)，因为直线2xym0与圆x2y25相切，即点(0,0)到直线2xym0的距离为，所以，|m|5.故所求直线的方程为2xy50或2xy50.命题角度2圆的弦长问题例3过点(4,0)作直线l与圆x2y22x4y200交于A，B两点，若|AB|8，则直线l的方程为()A5x12y200B5x12y200或x40C5x12y200D5x12y200或x40答案B解析圆的
9、标准方程为(x1)2(y2)225，由|AB|8知，圆心(1,2)到直线l的距离d3.当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x4时，符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x4)，即kxy4k0.则有3，k.此时直线l的方程为5x12y200.命题角度3圆中的最值问题斜率型最值例4已知实数x，y满足方程x2y24x10，则的最大值为_，最小值为_答案解析原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆.的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值(如图)，此时，解得k.所以的最大值为，最小值为.截距型最值例
10、52018郑州模拟已知实数x，y满足x2y24(y0)，则mxy的取值范围是()A(2，4) B2，4C4,4 D4,2答案B解析由于y0，所以x2y24(y0)为上半圆.xym0是直线(如图)，且斜率为，在y轴上截距为m，又当直线过点(2,0)时，m2，所以即解得m2，4，选B.触类旁通直线与圆综合问题的解题策略(1)用几何法求圆的弦长：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2r2d2.(2)求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解(3)对于圆的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子函数关系式，然后根据函数关系
11、式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值【变式训练3】2015江苏高考在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_答案(x1)2y22解析解法一：设A(1,0)，由mxy2m10，得m(x2)(y1)0，则直线过定点P(2，1)，即该方程表示所有过定点P的直线系方程当直线与AP垂直时，所求圆的半径最大此时，半径为|AP|.故所求圆的标准方程为(x1)2y22.解法二：设圆的半径为r，根据直线与圆相切的关系得r ，当m0时，10时，m212m(当且仅当m1时取等号)所以r，即rmax，故半径最大的圆的方程为(x1)2y22.考向两圆的位置关系 例6(1)2016山东高考已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切 B相交 C外切 D相离答案B解析由题意知圆M的圆心为(0，a)，半径Ra，因为圆M截直线xy0所得线段的长度为2，
