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1、【2019最新】精选高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6节双曲线教师用书文新人教A版考纲传真1.了解双曲线的实际背景,了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合的思想.4.了解双曲线的简单应用1双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a0,c0.当2a|F1F2|时,M点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0,b0)1(a0,b0)图形性质范围xa或xa,yRxR,ya或ya对称性对称轴:坐标轴,
2、对称中心:原点顶点A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)渐近线yxyx离心率e,e(1,),其中ca,b,c的关系c2a2b2(ca0,cb0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方程为yx,离心率为e.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线方程(m0,n0,0)的渐近线方程是0,即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材
3、改编)已知双曲线1(a0)的离心率为2,则a()A2B.C.D1D依题意,e2,2a,则a21,a1.3(2017福州质检)若双曲线E:1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|3,则|PF2|等于()A11B9C5D3B由题意知a3,b4,c5.由双曲线的定义|PF1|PF2|3|PF2|2a6,|PF2|9.4(2016全国卷)已知方程1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A(1,3)B(1,)C(0,3)D(0,)A原方程表示双曲线,且两焦点间的距离为4.则因此1n0,b0)的一条渐近线为2xy0,一个焦点为(,0),则双曲线的方程为_x21
4、由于2xy0是1的一条渐近线,2,即b2a,又双曲线的一个焦点为(,0),则c,由a2b2c2,得a2b25,联立得a21,b24. 所求双曲线的方程为x21.双曲线的定义及应用(2017哈尔滨质检)已知双曲线x21的两个焦点为F1,F2,P为双曲线右支上一点若|PF1|PF2|,则F1PF2的面积为()A48B24C12D6B由双曲线的定义可得|PF1|PF2|PF2|2a2,解得|PF2|6,故|PF1|8,又|F1F2|10,由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形,因此SPF1F2|PF1|PF2|24.规律方法1.应用双曲线的定义需注意的问题:在双曲线的定义中,要注意双曲线上的点(
5、动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点间的距离”若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支同时需注意定义的转化应用2在焦点三角形中,注意定义、余弦定理的活用,常将|PF1|PF2|2a平方,建立|PF1|PF2|间的联系变式训练1已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1,F2,点A在C上若|F1A|2|F2A|,则cosAF2F1()A.B.C.D.A由e2得c2a,如图,由双曲线的定义得|F1A|F2A|2a.又|F1A|2|F2A|,故|F1A|4a,|F2A|2a,cosAF2F1.双曲线的标准方程(1)(2017广州模拟)已知双曲
6、线C:1的离心率e,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为() 【导学号:31222317】A.1B.1C.1D.1(2)(2016天津高考)已知双曲线1(a0,b0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直,则双曲线的方程为()A.y21Bx21C.1D.1(1)C(2)A(1)由焦点F2(5,0)知c5.又e,得a4,b2c2a29.双曲线C的标准方程为1.(2)由焦距为2得c.因为双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直,所以.又c2a2b2,解得a2,b1,所以双曲线的方程为y21.规律方法1.确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件,两个“定量”条件“定位”是指确定焦
7、点在哪条坐标轴上,“定量”是指确定a,b的值,常用待定系数法若双曲线的焦点不能确定时,可设其方程为Ax2By21(AB0,b0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点若A1BA2C,则该双曲线的渐近线为_. 【导学号:31222318】(1)A(2)xy0(1)如图,因为MF1x轴,所以|MF1|.在RtMF1F2中,由sinMF2F1得tanMF2F1.所以,即,即,整理得c2aca20,两边同除以a2得e2e10.解得e(负值舍去)(2)由题设易知A1(a,0),A2(a,0),B,C.因为A1BA2C,所以1,整理得ab.因此该双曲线的渐近线
8、为yx,即xy0.规律方法1.(1)求双曲线的渐近线,要注意双曲线焦点位置的影响;(2)求离心率的关键是确定含a,b,c的齐次方程,但一定注意e1这一条件2双曲线中c2a2b2,可得双曲线渐近线的斜率与离心率的关系.抓住双曲线中“六点”、“四线”、“两三角形”,研究a,b,c,e间相互关系及转化,简化解题过程变式训练3(2015全国卷)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则E的离心率为()A.B2C.D.D不妨取点M在第一象限,如图所示,设双曲线方程为1(a0,b0),则|BM|AB|2a,MBx18012060,M点的坐标为.M点在双曲线上,1,
9、ab,ca,e.故选D.思想与方法1求双曲线标准方程的主要方法:(1)定义法:由条件判定动点的轨迹是双曲线,求出a2,b2,得双曲线方程(2)待定系数法:即“先定位,后定量”,如果不能确定焦点的位置,应注意分类讨论或恰当设置简化讨论若已知双曲线过两点,焦点位置不能确定,可设方程为Ax2By21(AB0)B.1(x0)C.1(y0)D.1(x0)B由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支,设其方程为1(x0,a0,b0),由题设知c3,a2,b2945.所以点P的轨迹方程为1(x0)4已知F为双曲线C:x2my23m(m0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A.B3C.mD3mA由双曲线方程知a23m,b23,c.不妨设点F为右焦点,则F(,0)又双曲线的一条渐近线为xy0,d.5(2