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1、高考大题专攻练 8.立体几何(B组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.如图，已知四棱锥P-ABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点.(1)证明：CE平面PAB.(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.【解题导引】(1)取PA的中点F，连接EF，BF，证明四边形BCEF为平行四边形，证明CEBF，从而证明CE平面PAB.(2)取BC，AD的中点M，N.连接PN交EF于点Q，连接MQ，证明MQCE，MQ与平面PBC所成的角，就等于CE与平面PBC所成的角.过Q作QHPB，连接MH，证明MH就是MQ在平面PBC内
2、的射影，这样只要证明平面PBN平面PBC即可.【解析】(1)如图，设PA中点为F，连接EF，FB.因为E，F分别为PD，PA中点，所以EFAD且EF=AD，又因为BCAD，BC=AD，所以EFBC且EF=BC，即四边形BCEF为平行四边形，所以CEBF，因此CE平面PAB.(2)分别取BC，AD的中点为M，N.连接PN交EF于点Q，连接MQ.因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点，在平行四边形BCEF中，MQCE.由PAD为等腰直角三角形得PNAD.由DCAD，N是AD的中点得BNAD.所以AD平面PBN，由BCAD得BC平面PBN，那么，平面PBC平面PBN.过点Q作P
3、B的垂线，垂足为H，连接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影，所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD=1.在PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，在PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=，在RtMQH中，QH=，MQ=，所以sinQMH=，所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是.2.如图几何体是圆柱体的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G为的中点.(1)设P是上一点，APBE，求CBP的大小.(2)当AD=2，AB=3，求二面角E-AG-C的大小.【解题导引】(1)由已知利用线面垂直的判定可得BE平面ABP，得到BEBP，
4、结合EBC=120求得CBP=30.(2)方法一：取的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形BEHC为菱形，取AG中点M，连接EM，CM，EC，得到EMAG，CMAG，说明EMC为所求二面角的平面角.求解三角形得二面角E-AG-C的大小.方法二：以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.求出A，E，G，C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E-AG-C的大小.【解析】(1)因为APBE，ABBE，AB，AP平面ABP，ABAP=A，所以BE平面ABP，又BP平面ABP，所以BEBP，又EBC=120.因
5、此CBP=30.(2)方法一：取的中点H，连接EH，GH，CH.因为EBC=120，所以四边形BEHC为菱形，所以AE=GE=AC=GC=，取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EMAG，CMAG，所以EMC为所求二面角的平面角.又AM=1，所以EM=CM=2.在BEC中，由于EBC=120，由余弦定理得EC2=22+22-222cos120=12，所以EC=2，因此EMC为等边三角形，故所求的角为60.方法二：以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则EBP=90，由题意得A(0，0，3)，E(2，0，0)，G(1，3)，C(-1，0)，故=(2，0，-3)，=(1，0)，=(2，0，3)，设m=(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量.由可得取z1=2，可得平面AEG的一个法向量m=(3，-，2).设n=(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量.由可得取z2=-2，可得平面ACG的一个法向量n=(3，-，-2).所以cos=.因此所求的角为60.4
