《最新高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布12-6离散型随机变量的均值与方差教师用书理苏教》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布12-6离散型随机变量的均值与方差教师用书理苏教（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【2019最新】精选高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布12-6离散型随机变量的均值与方差教师用书理苏教1离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的概率分布为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差称V(X)(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pnxpi2为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差2均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(2)V(aXb)a2V(X)(a，b为常数)
2、3两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)p，V(X)p(1p)(2)若XB(n，p)，则E(X)np，V(X)np(1p)【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定()(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小()(3)若随机变量X的取值中的某个值对应的概率增大时，均值也增大()(4)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关()1(教材改编)某射手射击所得环数的概率分布如下：78910Px0.10.3y已知的均值E()8
3、.9，则y的值为_答案0.4解析由可得y0.4.2设随机变量的概率分布为P(k)(k2,4,6,8,10)，则V()_.答案8解析E()(246810)6，V()(4)2(2)20222428.3已知随机变量X8，若XB(10,0.6)，则随机变量的均值E()及方差V()分别是_答案2和2.4解析设随机变量X的均值及方差分别为E(X)，V(X)，因为XB(10,0.6)，所以E(X)100.66，V(X)100.6(10.6)2.4，故E()E(8X)8E(X)2，V()V(8X)V(X)2.4.4设样本数据x1，x2，x10的均值和方差分别为1和4，若yixia(a为非零常数，i1,2，10
4、)，则y1，y2，y10的均值和方差分别为_答案1a,4解析因为1，yixia，所以y1，y2，y10的均值为1a，方差不变仍为4.5(教材改编)抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为_答案解析抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为，所以至少有一次出现5点或6点的概率为1，用X表示10次试验中成功的次数，则XB(10，)，E(X)10.题型一离散型随机变量的均值、方差命题点1求离散型随机变量的均值、方差例1(2016山东)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星
5、队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是，每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X的概率分布和均值E()解(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“星队至少猜对3个成语”由题意，EABCDBCDACDABDABC，由事件的独立性与互斥性，得P(E)P(ABCD)P(BCD)P(ACD)P(ABD)P(ABC)P(A)
6、P(B)P(C)P(D)P()P(B)P(C)P(D)P(A)P()P(C)P(D)P(A)P(B)P()P(D)P(A)P(B)P(C)P()2.所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.(2)由题意，得随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P(X0)，P(X1)2，P(X2)，P(X3)，P(X4)2，P(X6).可得随机变量X的概率分布为X012346P所以均值E(X)012346.命题点2已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值例2(2016扬州模拟)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3
7、分(1)当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的概率分布；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数若E()，V()，求abc.解(1)由题意得2,3,4,5,6，故P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的概率分布为23456P(2)由题意知的概率分布为123P所以E()，V()222，化简得解得a3c，b2c，故abc321.思维升华离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差可依题设条件求出离散型随机变量的概率概率分布，然后利用
8、均值、方差公式直接求解(2)由已知均值或方差求参数值可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值(3)由已知条件，作出对两种方案的判断可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断(2015四川)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的概率分布和均值解(1)由
9、题意，参加集训的男、女生各有6名，参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为.因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1.(2)根据题意，X的可能取值为1,2,3，P(X1)，P(X2)，P(X3)，所以X的概率分布为X123P因此，X的均值为E(X)1232.题型二与二项分布有关的均值与方差例3某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布及均值E()解(1)设“至少有
10、一个系统不发生故障”为事件C，那么1P()1p，解得p.(2)由题意，得P(0)3，P(1)C2，P(2)C2，P(3)3.所以，随机变量的概率分布为0123P故随机变量的均值E()0123.(或B(3，)，E()3.)思维升华解决与二项分布有关的均值、方差问题关键有二点：一是准确把握概率模型，确认要解决的问题是否属于二项分布问题二是正确套用概率公式(2016盐城模拟)甲、乙两人投篮命中的概率分别为与，各自相互独立现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球(1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；(2)设表示比赛结束后甲、乙两人进球的差的绝对值，求的概率分布和均值E()解(1)
11、比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率为PC()2()3C()2C()3()3C()3.(2)的取值为0,1,2,3，则P(0)()3()3C()2C()3C()2C()3()3()3，P(1)()3C()3C()2()3C()2C()3C()2C()3C()2()3()3C()3，P(2)()3C()3C()2()3C()2()3()3C()3，P(3)()3()3()3()3，所以的概率分布为0123P所以均值E()01231.题型三均值与方差在决策中的应用例4(201
12、6全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数(1)求X的概率分布；(2)若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？解(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，从而P(X16)0.20.20.04，P(X17)20.20.40.16，P(X18)20.20.20.40.40.24，P(X19)20.20.220.40.20.24，P(X20)20.20.40.20.20.2，P(X21)20.20.20.08，P(X22)0.20.20.04.所以X的概率分布为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.4
