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1、第一节数列的概念与简单表示法2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类函数。1.以考查Sn与an的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点；2.题型以选择题、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是Sn与an的关系，对以后研究数列的通项有很重要的作用。2015，全国卷，17,12分(递推通项、求和)2014，全国卷，17,12分(递推、通项、等差)2014，全国卷，17,12分(递推、等比、求和)2016，浙江卷，13,6分(an与Sn的关系)微知识小题练自|主|排|查1数列的有关概念(1)
2、数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。(2)数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列(3)数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法。2数列的通项公式(1)数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。(2)已知数列an的前n项和Sn，则an
3、微点提醒1数列是按一定顺序排列的一列数，数列an为a1，a2，a3，an。而集合a1，a2，a3，an的元素没有顺序。2数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号。求数列的通项公式就是找出数列的项an与项数n的函数关系式。根据数列的前几项求出的数列的通项公式不唯一。3数列不仅有递增数列、递减数列，还有常数列、摆动数列。4已知Sn求an，要对n1和n2两种情况进行讨论。小|题|快|练一 、走进教材1(必修5P31例3改编)在数列an中，a11，an1(n2)，则a5()A. B.C. D.【解析】由已知得，a2112，a311，a4113，a511。故选D。【答案】D2(必
4、修5P33A组T5改编)观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交所得的交点最多有_个。【解析】依题意，设an为n条直线相交最多的交点个数，则a21，anan1(n1)，n3，而anan1n1，由累加法求得an12(n1)，所以a1045。【答案】45二、双基查验1数列3,7，11,15，的通项公式可能是()Aan4n7 Ban(1)n(4n1)Can(1)n(4n1) Dan(1)n1(4n1)【答案】C2设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为()A15 B16C49 D64【解析】Snn2，a1S11。当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1。当n1时符合上式，an2n
5、1，a828115。故选A。【答案】A3(2016赤峰模拟)已知数列an满足a10，an1，nN*，则a2 015等于()A0 BC. D.【解析】根据题意，由于数列an满足a10，an1，那么可知a10，a2，a3，a40，a5，a6，故可知数列的周期为3，那么可知a2 015a2。故选B。【答案】B4已知数列an的前n项和Snn21，则an_。【解析】当n1时，a1S12，当n2时，anSnSn1n21(n1)212n1，故an【答案】5已知数列an满足a11，an13an2，则an_。【解析】因为an13an2，所以an113(an1)，所以3，所以数列an1为等比数列，公比q3，又a1
6、12，所以an123n1，所以an23n11。【答案】23n11微考点大课堂考点一 由数列的前几项求数列的通项公式【典例1】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式。(1)1,7，13,19，；(2)0.8,0.88,0.888，；(3)，。【解析】(1)数列中各项的符号可通过(1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5)。(2)数列变为，故an。(3)各项的分母分别为21,22,23,24，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3。因此把第1项变为，原数列化为，故an(1)n。【答案】(1)an(1)n(6n5)(2)an(3)a
7、n(1)n反思归纳求数列的通项公式应关注的四个特征(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想。【变式训练】(1)(2016长沙一模)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是()Aan(1)n11 BanCan2sin Dancos(n1)1(2)(2017沈阳模拟)已知数列，根据前三项给出的规律，则实数对(a，b)可能是()A(19,3) B(19，3)C. D.【解析】(1)对n1,2,3,4进行验证，an2sin不合题意，故选C。(2)由前三项可知，该数列的通项公式可能为an，所以即故选
8、C。【答案】(1)C(2)C考点二 由an与Sn的关系求通项公式【典例2】(1)(2016益阳调研)已知数列an的前n项和为Sn，且a11，an1Sn1，其中nN*，则数列an的通项公式是an_。(2)(2016浙江高考)设数列an的前n项和为Sn。若S24，an12Sn1，nN*，则a1_，S5_。【解析】(1)当n2时，由得an1anSnSn1an，即an12an，又因为当n1时，a2112，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，则数列an的通项公式是an2n1。(2)由于，解得a11。由an1Sn1Sn2Sn1得Sn13Sn1，所以Sn13，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所
9、以Sn3n1，即Sn，所以S5121。【答案】(1)2n1(2)1121反思归纳Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化。利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式，利用SnSn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解。【变式训练】(2016丹东模拟)已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn()A2n1 B.n1C.n1 D.【解析】解法一：因为Sn2an1，所以当n2时，Sn12an，所以anSnSn12an12an(n2)，即(n2)，又a2，所以ann2(n2)。当n1时，a111，所以an所以Sn2an1
10、2n1n1。故选B。解法二：由Sn2an12(Sn1Sn)得Sn1Sn，又S1a11，SnS1n1n1。故选B。【答案】B考点三 由数列的递推关系求通项公式母题发散【典例3】设数列an中，a12，an1ann1，则an_。【解析】由条件知an1ann1，则an(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)a1(234n)2。【答案】【母题变式】1.若将本典例“an1ann1”改为“an1an”，如何求解？【解析】an1an，ana1，2。【答案】an2若将本典例“an1ann1”改为“an1”，如何求解？【解析】an1，a12，an0，即，又a12，则，是以为首项，为公差的等差数列。(n1
11、)，an。【答案】an3若将本典例条件换为“a11，an1an2n”，如何求解？【解析】an1an2n，an2an12n2，故an2an2，即数列an是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列。当n为偶数时，a21，故ana22n1。当n为奇数时，an1an2n，an1n(n1为偶数)，故ann。综上所述，ann1，nN*。【答案】ann1，nN*反思归纳由递推关系式求通项公式的常用方法1已知a1且anan1f(n)，可用“累加法”求an。2已知a1且f(n)，可用“累乘法”求an。3已知a1且an1qanb，则an1kq(ank)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列ank。考点四 数列
12、的性质多维探究角度一：数列的周期性【典例4】(1)在数列an中，a11，a25，an2an1an(nN*)，则a2 015等于_。(2)(2016大兴一中模拟)数列an满足an1a1，则数列的第2 017项为_。【解析】(1)解法一：由a11，a25，an2an1an(nN*)可得该数列为1,5,4，1，5，4,1,5,4，。由此可得a2 015a33565a55。解法二：an2an1an，an3an2an1，两式相加可得an3an，an6an。a2 015a33565a55。(2)a1，a22a11。a32a2。a42a3。a52a41，a62a51，。该数列周期为T4。a2 017a1。【答案】(1)5(2)角度二：数列的单调性【典例5】已知数列an的通项an(n1)n(nN*)，试问该数列an有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由。【解析】an1an(n2)n1(n1)nn，当n0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n
