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1、第三节等比数列2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解等比数列的概念；2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；3.了解等比数列与指数函数的关系。2016，全国卷，17,12分(等比数列的证明、通项公式)2016，全国卷，15,5分(等比数列有关最值问题)2015，全国卷，4,5分(等比数列的计算)2015，全国卷，17,12分(等比数列的判定、基本运算与性质)主要以选择题、填空题的形式考查等比数列的基本运算与简单性质。解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查。微知识小题练自|主|排|查1等比数列的有关概念(1)定义：文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同
2、一个常数。符号语言：q(nN*，q为非零常数)。(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab。2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1。(2)前n项和公式：Snq1。3等比数列的性质(1)通项公式的推广：anamqnm(m，nN*)。(2)对任意的正整数m，n，p，q，若mnpq，则amanapaq。特别地，若mn2p，则amana。(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2mSm，S3mS2m仍成等比数列，即(S2mSm)2Sm(S3mS2m)(mN*，公比q1)。(4)数列an是等比数列，则数列pan
3、(p0，p是常数)也是等比数列。(5)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk。微点提醒1等比数列的概念的理解(1)等比数列中各项及公比都不能为零。(2)由an1qan(q0)，并不能断言an为等比数列，还要验证a10。(3)等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号相同。2等比数列an的单调性(1)满足或时，an是递增数列。(2)满足或时，an是递减数列。(3)当时，an为常数列。(4)当q200，两边同时取对数，得n1，又3.8，则n4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元。故选B。【
4、答案】B4等比数列an的前n项和为Sn，若S33S20，则公比q_。【解析】S33S20，a1a2a33(a1a2)0，a1(44qq2)0。a10，q2。【答案】25若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则lna1lna2lna20_。【解析】解法一：各项均为正数的等比数列an中a10a11a9a12a1a20，则a1a20e5，lna1lna2lna20ln(a1a20)10lne5050。解法二：各项均为正数的等比数列an中a10a11a9a12a1a20，则a1a20e5，设lna1lna2lna20S，则lna20lna19lna1S，2S20ln(a1a20
5、)100，S50。【答案】50微考点大课堂考点一 等比数列的基本运算【典例1】an为等比数列，求下列各值。(1)已知a3a636，a4a718，an，求n；(2)已知a2a836，a3a715，求公比q；(3)已知q，S815(1)，求a1。【解析】(1)解法一：q。又a3a6a3(1q3)36，a332。ana3qn332n328n21，8n1，即n9。解法二：a4a7a1q3(1q3)18且a3a6a1q2(1q3)36，q，a1128。又ana1qn127n128n21，8n1，即n9。(2)a2a8a3a736且a3a715，a33，a712或a312，a73。q44或q4，q或q。(
6、3)S815(1)，a1(1)(1)1。【答案】(1)9(2)或(3)1反思归纳等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式，并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比的取值情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算。【变式训练】(1)(2016武汉调研)若等比数列an的各项均为正数，a12a23，a4a2a6，则a4()A.B.C. D.(2)(2016海口调研)设Sn为等比数列an的前n项和，a28a50，则的值为()A. B.C2 D17【解析】(1)由题意，得解得所以a4a1q
7、33。故选C。(2)a28a50，q3，q。11。故选B。【答案】(1)C(2)B考点二 等比数列的判定与证明母题发散【典例2】(1)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列Da3，a6，a9成等比数列(2)已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn14an2(nN*)，若bnan12an，求证：bn是等比数列。【解析】(1)由等比数列的性质得，a3a9a0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，故选D。(2)证明：an2Sn2Sn14an124an24an14an，2。S2a1a24a12，a25。b1a2
8、2a13。数列bn是首项为3，公比为2的等比数列。【答案】(1)D(2)见解析【母题变式】1.在本典例(2)的条件下，求an的通项公式。【解析】由(2)知bnan12an32n1，所以，故是首项为，公差为的等差数列。所以(n1)，所以an(3n1)2n2。【答案】an(3n1)2n22在本典例(2)中，若cn，证明：cn为等比数列。【证明】由变式1知，an(3n1)2n2，cn2n2。2。又c1，数列cn是首项为，公比为2的等比数列。反思归纳(1)证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可
9、。(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证。【拓展变式】(2016全国卷)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0。(1)证明：an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求。【解析】(1)由题意得a1S11a1，故1，a1，a10。由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an。由a10，0且1得an0，所以。因此an是首项为，公比为的等比数列，于是ann1。(2)由(1)得Sn1n。由S5得15，即5。解得1。【答案】(1)an是首项为，公比为的等比数列，ann1(2)1考点三 等比数列的性质应用【典例3】(1)公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a1
10、116，则log2a10等于()A4B5C6D7(2)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n等于()A80 B30 C26 D16【解析】(1)a3a1116，a16。又等比数列an的各项都是正数，a74。又a10a7q342325，log2a105。故选B。(2)设S2na，S4nb，由等比数列的性质知：2(14a)(a2)2，解得a6或a4(舍去)，同理(62)(b14)(146)2，所以bS4n30。故选B。【答案】(1)B(2)B反思归纳等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形。根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口。【变式训练】(1)已知方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根组成以为首项的等比数列，则()A. B.或C. D以上都不对(2)已知等比数列an的前n项和为Sn，若S43，S12S812，则S8_。【解析】
