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1、第三节二项式定理2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。2016，全国卷，13,5分(求特殊项系数) 2016，北京卷，10,5分(求特殊项系数)2015，全国卷，10,5分(求特殊项系数)2014，全国卷，13,5分(求特殊项系数)以考查二项展开式、通项公式及二项式系数的性质为主，赋值法求系数的和也是考查的热点，题型以选择题、填空题为主，要求相对较低。微知识小题练自|主|排|查1二项式定理(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)。2二项展开式的通项第k1项为：Tk1Cankbk。3二项式系数二项展开式中各项的二项式系数为C(k0
2、,1,2，n)。4二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即CC增减性二项式系数C当k(nN*)时，是递增的当k(nN*)时，是递减的最大值当n为偶数时，中间的一项Cn取得最大值当n为奇数时，中间的两项Cn和Cn取得最大值5.二项式系数和的性质(1)(ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于CCCC，即2n。(2)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即CCCCCC2n1。微点提醒1二项式定理中，通项公式Tk1Cankbk是展开式的第k1项，不是第k项。2(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在Tk1Cankbk中，C
3、是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关。(2)二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关。当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值。小|题|快|练一 、走进教材1(选修23P31练习T4)(x1)10的展开式的第6项的系数是()AC BCCC DC【解析】二项式的通项为Tr1Cx10r(1)r，当r5时，C(1)rC。故选D。【答案】D2(选修23P35练习T1(2)改编)化简：CCC_。【解析】因为CCCC22n，所以CCC(CCC)22n1【答案】22n1二、双基查验1(xy)n的二项展开式中，第m项的系数是()AC BCCC
4、 D(1)m1C【解析】(xy)n展开式中第m项的系数为C(1)m1。故选D。【答案】D2已知C2C22C23C2nC729，则CCCC等于()A63 B64C31 D32【解析】逆用二项式定理得C2C22C23C2nC(12)n3n729，即3n36，所以n6，所以CCCC2nC26C64163。故选A。【答案】A3已知7的展开式的第4项等于5。则x等于()A. BC7 D7【解析】7的展开式中T4Cx435，所以x。故选B。【答案】B4(2016全国卷)(2x)5的展开式中，x3的系数是_。(用数字作答)【解析】由(2x)5得Tr1C(2x)5r()r25rCx5，令53得r4，此时系数为
5、10。【答案】105在二项式5的展开式中，含x项的系数是80，则实数a的值为_。【解析】二项式5的展开式的通项为Tr1C(x2)5rrC(a)rx103r，令103r1，得r3。故含x项的系数是C(a)380，解得a2。【答案】2微考点大课堂考点一 二项展开式的特定项或系数问题多维探究角度一：二项展开式的特定项或系数【典例1】(1)(2016北京高考)在(12x)6的展开式中，x2的系数为_。(用数字作答)(2)(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为_。(用数字作答)【解析】(1)(12x)6的展开式的通项Tr1C(2)rxr，当r2时，T3C(2)2x260x2，所以x2的系数为60。
6、(2)因为(xy)8的展开式的通项为Tk1Cx8kyk(0k8，kN)，当k7时，T8Cxy78xy7，当k6时，T7Cx2y628x2y6，所以(xy)(xy)8的展开式中x2y7的项为x8xy7(y)28x2y620x2y7，故系数为20。【答案】(1)60(2)20角度二：多项展开式的特定项或系数【典例2】(1)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10B20C30D60(2)5的展开式中的常数项为_。(用数字作答)【解析】(1)(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为T3C(x2x)3y2。其中(x2x)3中含x5的项为Cx4xCx5。所以x5y2的系数为CC30。故选C。
7、(2)原式5(x)25(x)10。求原式的展开式中的常数项，转化为求(x)10的展开式中含x5项的系数，即C()5。所以所求的常数项为。【答案】(1)C(2)反思归纳1.所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项。求解时，先准确写出通项Tr1Canrbr，再把系数与字母分离出来(注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解即可。2多项展开式问题一般是转化为二项展开式问题解决。考点二 二项式系数的性质应用【典例3】(1)设(1x)na0a1xa2x2a3x3anxn，若a1a2a3an63，则展开式中系数最大的
8、项是()A15x2B20x3C21x3 D35x3(2)若(2x3)3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，则a0a12a23a3_。【解析】(1)在(1x)na0a1xa2x2a3x3anxn中，令x1可得a0a1a2a3an2n；令x0可得a01。依题意得：2n163，解得：n6，所以展开式中系数最大的项为Cx320x3。故选B。(2)令x2得a01。令x0得27a02a14a28a3。因此a12a24a314。因为C(2x)330a3x3。所以a38。所以a12a23a314a36。所以a0a12a23a3165。【答案】(1)B(2)5反思归纳1.形如(axb)n，(ax2bx
9、c)m(a，b，cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可。2对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可。3若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5。【变式训练】(2016长春模拟)若(x21)(x3)9a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3a11(x2)11，则a1a2a11的值为()A0 B5C5 D255【解析】令x2得a05，令x3得a0a1a2a110，所以a1a2a11a05。【答案】C考点三 二项式定理的应用【典例4】(
10、1)设aZ，且0a13，若512 012a能被13整除，则a()A0 B1C11 D12(2)1.028的近似值是_。(精确到小数点后三位)【解析】(1)512 012a(521)2 012aC522 012C522 011C52(1)2 011C(1)2 012a，C522 012C522 011C52(1)2 011能被13整除，且512 012a能被13整除，C(1)2 012a1a也能被13整除，且0a13，因此a的值为12。(2)1.028(10.02)8CC0.02C0.022C0.0231.172。【答案】(1)D(2)1.172反思归纳1.整除问题的解题思路利用二项式定理找出某
11、两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断。2求近似值的基本方法利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1x)n1nx。【变式训练】190C902C903C(1)k90kC9010C除以88的余数是()A1 B1C87 D87【解析】190C902C(1)k90kC9010C(190)108910(881)108810C889C881，前10项均能被88整除，余数是1。【答案】B微考场新提升1(2016潍坊联考)在6的二项展开式中常数项是()A120B60C120 D60解析二项展开式的通项公式为Tr
12、1C()6rrC(2)rx3r，令3r0，得r2，所以常数项为C(2)260。答案D2(2016辽宁五校联考)若n展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是()A360 B180C90 D45解析展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n10，通项公式为Tr1C()10rrC2rx5r，令5r0，得r2，所以r2时，常数项为180。答案B3(2017厦门模拟)(12x)2 014a0a1xa2 014x2 014(xR)，则的值为()A2 B0C1 D2解析令x得a00，令x0得a01，所以1。答案C4(2016天津高考)8的展开式中x7的系数为_。(用数字作答)解析二项展开式的通项Tr1C(x2)8rr(1)rCx163r，令163r7，得r3，故x7的系数为C56。答案565(2016皖南八校联考)(x24x4)5的展开式中x的系数是_。解析由(x24x4)5(x2)10，得二项展开式的通项为Tr1Cx10r(2)r，所以x的系数为(2)9C5 120。答案5 120- 7 -
