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1、升级增分训练 构造辅助函数求解导数问题1设函数f(x)x2ex1ax3bx2，已知x2和x1为f(x)的极值点(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性；(3)设g(x)x3x2，比较f(x)与g(x)的大小解：(1)因为f(x)ex1(2xx2)3ax22bxxex1(x2)x(3ax2b)，又x2和x1为f(x)的极值点，所以f(2)f(1)0，因此解得(2)因为a，b1，所以f(x)x(x2)(ex11)，令f(x)0，解得x12，x20，x31因为当x(，2)(0,1)时，f(x)0；当x(2,0)(1，)时，f(x)0所以f(x)在(2,0)和(1，)上是单调递增的；在(，2)和
2、(0,1)上是单调递减的(3)由(1)可知f(x)x2ex1x3x2故f(x)g(x)x2ex1x3x2(ex1x)，令h(x)ex1x，则h(x)ex11令h(x)0，得x1，因为当x(，1时，h(x)0，所以h(x)在(，1上单调递减；故当x(，1时，h(x)h(1)0；因为当x1，)时，h(x)0，所以h(x)在1，)上单调递增；故x1，)时，h(x)h(1)0所以对任意x(，)，恒有h(x)0；又x20，因此f(x)g(x)0故对任意x(，)，恒有f(x)g(x)2(2015北京高考)已知函数f(x)ln(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求证：当x(0,1)时
3、，f(x)2；(3)设实数k使得f(x)k对x(0,1)恒成立，求k的最大值解：(1)因为f(x)ln(1x)ln(1x)(1x1)，所以f(x)，f(0)2又因为f(0)0，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y2x(2)证明：令g(x)f(x)2，则g(x)f(x)2(1x2)因为g(x)0(0xg(0)0，x(0,1)，即当x(0,1)时，f(x)2(3)由(2)知，当k2时，f(x)k对x(0,1)恒成立当k2时，令h(x)f(x)k，则h(x)f(x)k(1x2)所以当0x 时，h(x)0，因此h(x)在区间上单调递减故当0x 时，h(x)h(0)0，即f(x)2时，f
4、(x)k并非对x(0,1)恒成立综上可知，k的最大值为23(2016广州综合测试)已知函数f(x)mexln x1(1)当m1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当m1时，证明：f(x)1解：(1)当m1时，f(x)exln x1，所以f(x)ex所以f(1)e1，f(1)e1所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(e1)(e1)(x1)，即y(e1)x(2)证明：当m1时，f(x)mexln x1exln x1(x0)要证明f(x)1，只需证明exln x20设g(x)exln x2，则g(x)ex设h(x)ex，则h(x)ex0，所以函数h(x)g(x)
5、ex在(0，)上单调递增因为ge20，g(1)e10，所以函数g(x)ex在(0，)上有唯一零点x0，且x0因为g(x0)0，所以ex0，即ln x0x0当x(0，x0)时，g(x)0；当x(x0，)时，g(x)0所以当xx0时，g(x)取得最小值g(x0)故g(x)g(x0)ex0ln x02x020综上可知，当m1时，f(x)14(2017石家庄质检)已知函数f(x)a(x0)，其中e为自然对数的底数(1)当a0时，判断函数yf(x)极值点的个数；(2)若函数有两个零点x1，x2(x1x2)，设t，证明：x1x2随着t的增大而增大解：(1)当a0时，f(x)(x0)，f(x)，令f(x)0
6、，得x2，当x(0,2)时，f(x)0，yf(x)单调递减，当x(2，)时，f(x)0，yf(x)单调递增，所以x2是函数的一个极小值点，无极大值点，即函数yf(x)有一个极值点(2)证明：令f(x)a0，得xaex，因为函数有两个零点x1，x2(x1x2)，所以x1aex1，xaex2，可得ln x1ln ax1，ln x2ln ax2故x2x1ln x2ln x1ln又t，则t1，且解得x1，x2所以x1x2令h(x)，x(1，)，则h(x)令u(x)2ln xx，得u(x)2当x(1，)时，u(x)0因此，u(x)在(1，)上单调递增，故对于任意的x(1，)，u(x)u(1)0，由此可得h(x)0，故h(x)在(1，)上单调递增因此，由可得x1x2随着t的增大而增大4
