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1、第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；2.掌握确定直线位置的几何要素；3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系。2016，北京卷，5,5分(直线方程的应用)2014，四川卷，14,5分(最值问题)2014，福建卷，3,5分(求直线的方程)2014，安徽卷，2,5分(直线的倾斜角)直线是解析几何中最基本的内容，对直线的考查一是在选择题、填空题中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等基本知识，二是在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识进行综合考查。微知
2、识小题练自|主|排|查1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0。(2)范围：直线l倾斜角的范围是0，)。2直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角不是90，则斜率ktan。(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k。3直线方程的五种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x0，y0)yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式斜率k与截距bykxb不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)不含直线xx1(x1x2)和直线
3、yy1(y1y2)截距式截距a与b1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用微点提醒1斜率的求解可以通过过两点的直线的斜率公式，也可以通过求倾斜角的正切值来实现。2对于直线的五种形式，一定要理解其结构特点及适用范围。3直线的点斜式、斜截式是最常用的形式，点斜式重在突出斜率与定点，斜截式主要体现斜率及在y轴上的截距，都具有非常鲜明的几何特点。小|题|快|练一 、走进教材1(必修2P100练习T3改编)直线l：xsin30ycos15010的斜率是()A. B.C D【解析】设直线l的斜率为k，则k。故选A。【答案】A2(必修2P100A组T3改编
4、)已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线方程为()A4x2y50 B4x2y50Cx2y50 Dx2y50【解析】线段AB的中点坐标为，kAB，则线段AB的垂直平分线的斜率为2，且过点，故线段AB的垂直平分线方程为y2(x2)，即4x2y50。故选B。【答案】B二、双基查验1过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A1 B4C1或3 D1或4【解析】显然m2，由1，得m24m，m1。故选A。【答案】A2直线xym0(mR)的倾斜角为()A30B60C150 D120【解析】由ktan，0，180)得150。故选C。【答案】C3已知直线l过点P(2,5)
5、，且斜率为，则直线l的方程为()A3x4y140 B3x4y140C4x3y140 D4x3y140【解析】由y5(x2)，得3x4y140。故选A。【答案】A4若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为_。【解析】kAC1，kABa3。由于A，B，C三点共线，所以a31，即a4。【答案】45过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程是_。【解析】由题设知截距不为0，设直线方程为1，又直线过点(3,4)，从而1，解得a4或a9。故所求直线方程为4xy160或x3y90。【答案】4xy160或x3y90微考点大课堂考点一 直线的倾斜角与斜率母题发散【典例1】(
6、1)直线2xcosy30的倾斜角的取值范围是()A.B.C. D.(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_。【解析】(1)直线2xcosy30的斜率k2cos，因为，所以cos，因此k2cos1，。设直线的倾斜角为，则有tan1，。又0，)，所以，即倾斜角的取值范围是。(2)如图，kAP1，kBP，k(，1，)。【答案】(1)B(2)(，1，)【母题变式】1.若将本典例(2)中“P(1,0)”改为“P(1,0)”，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围。【解析】如图，P(1,0)，A(2,1)，B(0，)，kAP，kBP。所以，
7、直线l斜率的取值范围为。【答案】2若将本典例(2)中的B点坐标改为B(2，1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围。【解析】如图：直线PA的倾斜角为45，直线PB的倾斜角为135，由图象知l的倾斜角的范围为0，45135，180)。【答案】0，45135，180)反思归纳直线倾斜角的范围是0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论。由正切函数图象可以看出，当时，斜率k0，)；当时，斜率不存在；当时，斜率k(，0)。【拓展变式】已知实数x，y满足2xy8，当2x3时，则的最大值为_；最小值为_。【解析】如图，设点P(x，y)，因为x，y满足2xy8
8、，且2x3，所以点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标分别是(2,4)，(3,2)。因为的几何意义是直线OP的斜率，且kOA2，kOB，所以的最大值为2，最小值为。【答案】2考点二 求直线的方程【典例2】(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y4x的斜率的的直线方程。(2)求经过点A(5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程。【解析】(1)设所求直线的斜率为k，依题意k4。又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即4x3y130。(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为1，将(5,2)代入所设方程，解得a，所以直线方程为x2y10；当直线过原点时
9、，设直线方程为ykx，则5k2，解得k，所以直线方程为yx，即2x5y0。故所求直线方程为2x5y0或x2y10。【答案】(1)4x3y130(2)2x5y0或x2y10反思归纳1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件。 2对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)。【变式训练】已知直线l过(2,1)，(m,3)两点，则直线l的方程为_。【解析】当m2时，直线l的方程为x2；当m2时，直线l的方程为，即2x(m2)ym60。因为m2时，代入方程2x(m2)ym60，即为x2，所以直线l的
10、方程为2x(m2)ym60。【答案】2x(m2)ym60考点三 直线方程的应用多维探究角度一：与不等式相结合的最值【典例3】(2015福建高考)若直线1(a0，b0)过点(1,1)，则ab的最小值等于()A2 B3C4 D5【解析】将(1,1)代入直线1得1，a0，b0，故ab(ab)2224，等号当且仅当ab时取到，故ab的最小值为4。故选C。【答案】C角度二：与函数相结合的最值【典例4】(2016北京高考)已知A(2,5)，B(4,1)。若点P(x，y)在线段AB上，则2xy的最大值为()A1 B3C7 D8【解析】依题意得kAB2，线段lAB：y12(x4)，x2,4，即y2x9，x2,
11、4，故2xy2x(2x9)4x9，x2,4。设h(x)4x9，易知h(x)4x9在2,4上单调递增，故当x4时，h(x)max4497。故选C。【答案】C角度三：与圆相结合的直线方程问题【典例5】(2016运城二模)已知圆(x2)2(y1)216的一条直径通过直线x2y30被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为()A3xy50 Bx2y0Cx2y40 D2xy30【解析】直线x2y30的斜率为，已知圆的圆心坐标为(2，1)，该直径所在直线的斜率为2，所以该直径所在的直线方程为y12(x2)，即2xy30。故选D。【答案】D反思归纳与直线有关的最值问题的解题思路1借助直线方程，用y表示x或用
12、x表示y。2将问题转化成关于x(或y)的函数。3利用函数的单调性或基本不等式求最值。微考场新提升1如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()Ak1k2k3 Bk3k1k2Ck3k2k1 Dk1k3k2解析直线l1的倾斜角1是钝角，故k13，所以0k3k2，因此k1k3k2, 故选D。答案D2(2017太原模拟)已知直线l的斜率为1，在y轴上截距为另一条直线x2y40的斜率的倒数，则直线l的方程为()Ayx2 Byx2Cyx Dyx2解析因为x2y40的斜率为，所以直线l在y轴上的截距为2，所以直线l的方程为yx2。故选A。答案A3(2016海淀统考)若直线l经过点A(1,2)，且在x轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率的取值范围是()A1k1或kC.k或k1解析设直线的斜率为k，则直线方程为y2k(x1)，直线在x轴上的截距为1，令31或k1，也可以利用数形结合。故选D。答案D4(2016武宜中学质检)直线x(a21)y10(aR)的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.解析因为直线方程为x(a21)y10，所以直线的斜率k，故k1,0)，由正切函数图象知倾斜角。故选B。答案B5(2016江苏模拟)
