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1、第一节两个计数原理2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”； 2.能利用两个原理解决一些简单的实际问题。2016，全国卷，5,5分(乘法计数原理)2016，全国卷，12,5分(加法计数原理)2014，福建卷，10,5分(乘法计数原理)1.两个计数原理一般不单独命题，常与排列、组合交汇考查；2.题型以选择题、填空题为主，要求相对较低。微知识小题练自|主|排|查两个计数原理：完成一件事的策略完成这件事共有的方法分类加法计数原理有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法在n类中有mn种不同
2、方法Nm1m2mn种不同的方法分步乘法计数原理需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同方法Nm1m2mn种不同的方法微点提醒1分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任意一种方法都可以完成这件事。2分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才能完成。小|题|快|练一 、走进教材1(选修23P12A组T2改编)如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有_条不同的路线。【解析】不同路线共有344532(条)。【答案】322(选修2
3、3P10练习T1改编)乘积(abc)(defh)(ijklm)展开后共有_项。【解析】由(abc)(defh)(ijklm)展开式各项都是从每个因式中选一个字母的乘积，由分步乘法计数原理可得：其展开式共有34560(项)。【答案】60二、双基查验1(2016郑州模拟)某项测试要过两关，第一关有3种测试方案，第二关有5种测试方案，某人参加该项测试，不同的测试方法种数为()A35 B35C35 D53【解析】根据题意，某人参加该项测试，第一关有3种测试方案，即有3种测试方法，第二关有5种测试方案，即有5种测试方法，则有35种不同的测试方法。故选B。【答案】B2三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4
4、,5和6，若将三张卡片并列，可得到不同的三位数(6不能作9用)的个数为()A8 B6C14 D48【解析】先排首位6种可能，十位数从剩下2张卡片中任取一数有4种可能，个位数从剩下的1张卡片中取一数有2种可能，所以一共有64248(个)。故选D。【答案】D3已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A40 B16C13 D10【解析】分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面。根据分类加法计数原理知，共可以确定8513个不同的平面。故选C。【答案】C4(2017
5、洛阳模拟)某位同学逛书店，发现有三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买的方案有_种。【解析】至少买其中一本的实质是买一本或买两本或买三本，故分三类完成。第一类：买一本有3种；第二类：买两本有3种；第三类：买三本有1种。共有3317(种)买法。【答案】75(2016广州模拟)在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”。比如“102”，“546”为“驼峰数”，由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有_个。【解析】十位上的数为1时，有213,214,312,314,412,413，共6个，十位上的数为2时，有324,423，共2个，所以共有628(个)。【答案】8
6、微考点大课堂考点一 分类加法计数原理【典例1】(1)(2016太原模拟)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为_。(2)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则首位为2的“六合数”共有()A18个B15个C12个D9个【解析】(1)根据题意，将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个。由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8765432136(个)。故共有36个。(2)设满足题意的“六合数”为2 000100a10bc，则abc4，满足条
7、件的a，b，c可分以下四种情况：(1)一个为4，两个为0，共有3个；(2)一个为3，一个为1，一个为0，共有6个；(3)两个为2，一个为0，共有3个；(4)一个为2，两个为1，共有3个。则首位为2的“六合数”共有15个。故选B。【答案】(1)36(2)B反思归纳使用分类加法计数原理遵循的原则有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则。【变式训练】从集合1,2,3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A3 B4 C6 D8【解析】当公比为2时，等比数列可为1,2,4或2,4,8；当公比为3时，等比数列可为1,3
8、,9；当公比为时，等比数列可为4,6,9。故选D。【答案】D考点二 分步乘法计数原理【典例2】(1)(2016全国卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24 B18 C12 D9(2)(2016四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A24 B48 C60 D72【解析】(1)由题意可知EF共有6种走法，FG共有3种走法，由乘法计数原理知，共有6318种走法，故选B。(2)由题意，可知个位可以从1,3,5中任选一个，有A种方法，其他数位上的数可以从剩下的
9、4个数字中任选，进行全排列，有A种方法，所以奇数的个数为AA3432172，故选D。【答案】(1)B(2)D反思归纳分步乘法计数原理的注意点1明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，必须要经过几步才能完成这件事。2解决分步问题时要合理设计步骤、顺序，使各步互不干扰，还要注意元素是否可以重复选取。【变式训练】(1)(2016锦州模拟)5名应届毕业生报考三所高校，每人报且仅报一所院校，则不同的报名方法的种数是()A35 B53 CA DC(2)(2016哈尔滨模拟)用0,1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A243 B252 C261 D279(3)设集合A1,0,1，集合B0,
10、1,2,3，定义A*B(x，y)|xAB，yAB，则A*B中元素的个数是()A7 B10 C25 D52【解析】(1)根据分步乘法计数原理知，每个学生都有3个可能报名的学校，故应该是3333335(种)方法。故选A。(2)由分步乘法计数原理得，能够组成的三位数的个数是91010900，能够组成无重复数字的三位数的个数是998648，故能够组成有重复数字的三位数的个数是900648252。故选B。(3)由题意知本题是一个分步乘法计数原理，因为集合A1,0,1，集合B0,1,2,3，所以AB0,1，AB1,0,1,2,3，所以x有2种取法，y有5种取法，所以根据分步乘法计数原理得2510。故选B。
11、【答案】(1)A(2)B(3)B考点三 两个计数原理的综合应用多维探究角度一：排数与排队问题【典例3】(1)(2015四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A144个 B120个 C96个 D72个(2)(2017长春模拟)现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有()A24种 B36种 C48种 D72种【解析】(1)首位为5，末位为0：43224(个)；首位为5，末位为2：43224(个)；首位为5，末位为4：43224(
12、个)；首位为4，末位为0：43224(个)；首位为4，末位为2：43224(个)。由分类加法计数原理，得共有2424242424120(个)。故选B。(2)分两类：第一道工序安排甲时有114312(种)。第一道工序不安排甲时有124324(种)。所以共有122436(种)。故选B。【答案】(1)B(2)B角度二：涂色问题【典例4】(2016珠海模拟)如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()A400种 B460种 C480种 D496种【解析】完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色。当使用4种颜色时：从A开始，有6种方法，B有
13、5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6543360(种)方法；当使用3种颜色时：A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有654120(种)方法。由分类加法计数原理可知：不同涂法有360120480(种)。故选C。【答案】C反思归纳1.(1)注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步。在分步时可能又用到分类加法计数原理。(2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化。2解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成。微考场新提升1(2016滨州模拟)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，
14、则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()A6种B12种C24种 D30种解析可分步完成此事：第一步：甲乙选相同的1门共有4种方法；第二步：甲再选1门有3种方法；第三步：乙再选一门有2种选法，由分步乘法计数原理知：甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有43224(种)。故选C。答案C2(2017成都模拟)某城市有3个演习点同时进行消防演习，现将4名消防队分配到这3个演习点，若每个演习点至少安排1名消防队，则不同的分配方案种数为()A12 B36C72 D108解析先从4个消防队中选出2个作为一个整体，有C种选法；再将三个整体进行全排列，有A种方法；根据分步乘法计数原理得不同的分配方案种数为CA36。故选B。答案B3(2016银川模拟)集合Px,1，Qy,1,2，其中x，y1,2,3，9，且P
