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1、第七节二项分布、正态分布及其应用2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布；3.借助直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；4.能解决一些简单的实际问题。2016，全国卷，18(2)，4分(条件概率)2016，四川卷，12,5分(二项分布)2015，全国卷，4,5分(独立重复试验的概率)2016，北京卷，16()()，8分(相互独立事件的概率)2015，湖北卷，4,5分(正态分布)相互独立事件、n次独立重复试验、二项分布，条件概率以及正态分布曲线的性质和服从正态分布的随机变量的概率是考查的热点，各种题型
2、都可能涉及。微知识小题练自|主|排|查1条件概率(1)条件概率的定义设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。(2)条件概率的性质条件概率具有一般概率的性质，即0P(B|A)1；如果B，C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)。2相互独立事件的概率(1)相互独立事件的定义及性质定义：设A，B是两个事件，若P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立。(2)独立重复试验概率公式在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i1,2，n)表示第i
3、次试验结果，则P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(An)。(3)二项分布的定义在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n。此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率。3正态分布(1)正态曲线的定义函数，(x)e，x(，)，其中实数和(0)为参数，称，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。(2)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作N(，2)。(3)正态曲线的特点曲线位于x轴的上方，与
4、x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x对称；曲线在x处达到峰值；曲线与x轴之间的面积为1；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿着x轴平移；当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。(4)正态分布中的3原则P(X)0.682_6；P(2X2)0.954_4；P(3X3)0.997_4。微点提醒1相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(AB)P(A)P(B)。2判断一个随机变量是否服从二
5、项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次。3P(AB)P(A)P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)P(B|A)。小|题|快|练一 、走进教材1(选修23P55练习T1改编)有3位同学参加某项测试，假设每位同学能通过测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有二位同学能通过测试的概率为()A.B.C.D.【解析】记“至少有二位同学能通过测试”为事件A，则其包含事件为“恰好有二位同学能通过测试”或“恰好有三位同学能通过测试”，而每位同学不能通过测试的概率都是1，且相互独立，故P(A)C
6、3C3。故选C。【答案】C2(选修23P74练习T1改编)某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，则理论上在80分到90分的人数是()A32 B16 C8 D20【解析】因为数学成绩近似地服从正态分布N(80,102)，所以P(|x80|1)p，则P(10)P(1)P(1)p，所以P(10)P(0)P(1)p。【答案】p5(2016四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是_。【解析】由题意知，试验成功的概率p，故XB，所以E(X)2。【答案】微考点大课堂考点一 条件概率【典例1】
7、(2016长春模拟)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)()A.B.C. D.【解析】P(A)，P(AB)。由条件概率计算公式，得P(B|A)。【答案】B【母题变式】1.把本典例中的事件B：“取到的2个数均为偶数”改为“取到的2个数均为奇数”，则P(B|A)_。【解析】事件A“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)，所以P(A)。事件B：“取到的2个数均为奇数”所包含的基本事件有(1,3)，(1,5)，(3,5)，所以P(AB)，所以P(B|A)。【答案】
8、2把本典例事件A中的“和”变为“积”，其他条件不变，则P(B|A)_。【解析】事件A：“取到的2个数之积为偶数”所包含的基本事件有：(1,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，所以P(A)。事件B：“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有(2,4)，所以P(AB)，所以P(B|A)。【答案】反思归纳条件概率的求法1定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)求P(B|A)。2基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)。【拓展变式】袋中有5个球，其中3个白球，2个黑
9、球，现不放回地每次抽取1个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率为_。【解析】解法一：记第二次取到白球为事件B，则P(B)。解法二：第一次取到白球为事件A，第二次取到白球为事件B，则P(A)，P(AB)，P(B|A)。【答案】考点二 相互独立事件的概率【典例2】(2016北京高考节选)A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5(1)试估计C班的学生人数；(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出
10、的人记为甲，C班选出的人记为乙。假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率。【解析】(1)由题意知，抽出的20名学生中，来自C班的学生有8名。根据分层抽样方法，C班的学生人数估计为10040。(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i1,2，5，事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”，j1,2，8。由题意可知，P(Ai)，i1,2，5；P(Cj)，j1,2，8。P(AiCj)P(Ai)P(Cj)，i1,2，5，j1,2，8。设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”。由题意知EA1C1A1C2A2C1A2C2A2C3A3C1A3C2A3C3A4
11、C1A4C2A4C3A5C1A5C2A5C3A5C4。因此P(E)P(A1C1)P(A1C2)P(A2C1)P(A2C2)P(A2C3)P(A3C1)P(A3C2)P(A3C3)P(A4C1)P(A4C2)P(A4C3)P(A5C1)P(A5C2)P(A5C3)P(A5C4)15。【答案】(1)40(2)反思归纳解答此类问题的方法技巧1首先判断几个事件的发生是否相互独立；2求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解。(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算。【变式训练】设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立。(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用。若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值。【解析】记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i0,1,2，B表示事件：甲需使用设备，C表示事件：丁需使用设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备，E表示事件：同一工作日4人需使用设备，F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k。(1)DA1BCA2BA2C，P(B)0.6，P(C)0.4，P(
