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1、第七节抛物线2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)；2.理解数形结合的思想；3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用。2016，全国卷，10,5分(抛物线的几何性质)2016，四川卷，8,5分(抛物线的几何性质)2016，浙江卷，9,4分(抛物线定义)2015，陕西卷，14,5分(抛物线标准方程)1.抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点；2.考题以选择题、填空题为主，多为中低档题。微知识小题练自|主|排|查1抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)
2、的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0注：抛物线上P点坐标为(x0，y0)。微点提醒抛物线焦点弦的4个常用结论设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2
3、。(2)弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)。(3)以弦AB为直径的圆与准线相切。(4)过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p。小|题|快|练一 、走进教材1(选修21P67练习T3(1)改编)设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_。【解析】如图所示，抛物线的准线l的方程为x2，F是抛物线的焦点，过点P作PAy轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|2，由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|426，所以点P到焦点的距离|PF|PB|6。【答案】62(选修21P72练习T1(1)改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(
4、2，4)，则该抛物线的标准方程为_。【解析】很明显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上。当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y22px(p0)，把点P(2，4)的坐标代入得(4)22p(2)，解得p4，此时抛物线的标准方程为y28x；当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x22py(p0)，把点P(2，4)的坐标代入得(2)22p(4)，解得p，此时抛物线的标准方程为x2y。综上可知，抛物线的标准方程为y28x或x2y。【答案】y28x或x2y二、双基查验1已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则抛物线焦点坐标为()A(1,0) B(1,0)C(0，1) D(0
5、,1)【解析】因为抛物线的准线方程为x1，1，焦点坐标为(1,0)。故选B。【答案】B2抛物线yx2的准线方程是()Ay1 By2Cx1 Dx2【解析】抛物线yx2的标准方程为x24y，所以其准线方程为y1。故选A。【答案】A3设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，则k()A. B1C. D2【解析】易知抛物线的焦点为F(1,0)，设P(xP，yP)，由PFx轴可得xP1，代入抛物线方程得yP2(2舍去)，把P(1,2)代入曲线y(k0)得k2。故选D。【答案】D4若抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值是_。【解析】抛物线yax2可化为x2y，2，a。【答案
6、】5已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为_。【解析】A(2,3)在抛物线y22px的准线上，2，p4，y28x，设直线AB的方程为xm(y3)2，将与y28x联立，即得y28my24m160，则(8m)24(24m16)0，即2m23m20，解得m2或m(舍去)，将m2代入解得即B(8,8)，又F(2,0)，kBF。【答案】微考点大课堂考点一 抛物线的定义及应用母题发散【典例1】已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标。【解析
7、】将x3代入抛物线方程y22x，得y。2，A在抛物线内部，如图。设抛物线上点P到准线l：x的距离为d，由定义知|PA|PF|PA|d，当PAl时，|PA|d最小，最小值为，即|PA|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2，点P的坐标为(2,2)。【答案】最小值，P(2,2)【母题变式】将本典例中点A的坐标改为(3,4)，求|PA|PF|的最小值。【解析】当P，A，F共线时，|PA|PF|最小，|PA|PF|AF|。【答案】反思归纳与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关。由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度。“看到准线想焦点，看到
8、焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径。【拓展变式】(2016广东茂名二模)若动圆的圆心在抛物线yx2上，且与直线y30相切，则此圆恒过定点()A(0,2)B(0，3)C(0,3) D(0,6)【解析】直线y30是抛物线x212y的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)。故选C。【答案】C考点二 抛物线的标准方程与几何性质【典例2】(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(4，2)的抛物线的标准方程是()Ay2xBx28yCy28x或x2yDy2x或x28y(2)已知点A是抛物线y22px(p0)上一点，F为其
9、焦点，以F为圆心， |FA|为半径的圆交准线于B，C两点，FBC为正三角形，且ABC的面积是，则抛物线的方程为_。【解析】(1)(待定系数法)设抛物线为y2mx，代入点P(4，2)，解得m1，则抛物线方程为y2x；设抛物线为x2ny，代入点P(4，2)，解得n8，则抛物线方程为x28y。故选D。(2)(定义法)如图，依题意得|DF|p，cos30，因此|BF|，|AF|BF|。由抛物线的定义知，点A到准线的距离也为，又ABC的面积为，因此有，p8，该抛物线方程为y216x。【答案】(1)D(2)y216x反思归纳1.求抛物线的标准方程的方法(1)先定位：根据焦点或准线的位置。(2)再定形：即根
10、据条件求p。2.抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程。(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质以形助数。【变式训练】(2016全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点。已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D8【解析】由题意，不妨设抛物线方程为y22px(p0)，由|AB|4，|DE|2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|OD|，得85，得p4。故选B。【答案】B考点三 焦点弦问题【典例3】已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1
11、，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴。证明：直线AC经过原点O。【证明】设直线AB的方程为xmy，代入y22px，得y22pmyp20。由根与系数的关系，得yAyBp2，即yB。BCx轴，且C在准线x上，C。则kOCkOA。直线AC经过原点O。考点四 直线与抛物线的位置关系【典例4】(2016江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy20，抛物线C：y22px(p0)。(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q。求证：线段PQ的中点坐标为(2p，p)；求p的取值范围。【解析】(1)抛物线C：y22px(p0)的焦点为，由点在直线l：xy20上，得020，即p4。所以抛物线C的方程为y28x。(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)。因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为1，则可设其方程为yxb。证明：由消去x得y22py2pb0。(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1y2，从而(2p)24(2pb)0，化简得p2b
