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1、【2019最新】精选高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2-1函数及其表示教师用书理苏教1.函数与映射函数映射两集合A、B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空集合对应法则f：AB如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应名称这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数称对应f：AB为从集合A到集合B的映射记法yf(x)(xA)f：AB2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，其中所有x组成的集合A称为函数yf(x)的定义域；将所有y组成的集合
2、叫做函数yf(x)的值域.(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域.(3)函数的表示法表示函数的常用方法有列表法、解析法和图象法.3.分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数，通常叫做分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【知识拓展】求函数定义域常见结论(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(5)正切函数ytan x，xk(kZ)；(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要
3、考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)对于函数f：AB，其值域是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数.()(3)映射是特殊的函数.()(4)若AR，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从A到B的映射.()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的.()1.设f(x)若f(2)4，则a的取值范围为_.答案(，2解析因为f(2)4，所以2a，)，所以a2，则a的取值范围为(，2.2.(2016江苏)函数y的定义域是_.答案3，1解析要使原函数有意义，需满足32xx20，解得3x1，故函数的定
4、义域为3，1.3.(教材改编)设f(x)g(x) 则f(g()的值为_.答案0解析由题意得，g()0，f(g()f(0)0.4.(教材改编)如果f()，则当x0，1时，f(x)_.答案解析令t，则x，代入f()，则有f(t)，f(x).5.已知f(x)，则f(f(x)的定义域为_.答案x|x2且x1解析因为f(x)，所以f(x)的定义域为x|x1，则在f(f(x)中，f(x)1，即1，解得x2，所以f(f(x)的定义域为x|x2且x1.题型一函数的概念例1有以下判断：f(x)与g(x)表示同一函数；函数yf(x)的图象与直线x1的交点最多有1个；f(x)x22x1与g(t)t22t1是同一函数
5、；若f(x)|x1|x|，则f0.其中正确判断的序号是_.答案解析对于，由于函数f(x)的定义域为x|xR且x0，而函数g(x)的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于，若x1不是yf(x)定义域内的值，则直线x1与yf(x)的图象没有交点，如果x1是yf(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x1与yf(x)的图象只有一个交点，即yf(x)的图象与直线x1最多有一个交点；对于，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应法则均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于，由于f0，所以ff(0)1.综上可知，正确的判断是.思维升华函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定，当且仅当定义域和对应法则都
6、相同的函数才是同一函数.值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同).(1)(2016南京模拟)下列所给图象中函数图象的个数为_.(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是_.yx1和y；yx0和y1；f(x)x2和g(x)(x1)2；f(x)和g(x).答案(1)2(2)解析(1)中当x0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，中当xx0时，y的值有两个，因此不是函数图象，中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象.(2)中两个函数的定义域不同；中yx0的x
7、不能取0；中两函数的对应法则不同.题型二函数的定义域问题命题点1求函数的定义域例2(1)(教材改编)函数f(x)的定义域用区间表示为_.(2)若函数yf(x)的定义域为0，2，则函数g(x)的定义域是_.答案(1)0，1)(1，2)(2)0，1)解析(1)要使函数有意义，需满足即函数f(x)的定义域为0，1)(1，2).(2)由02x2，得0x1，又x10，即x1，所以0x1，即g(x)的定义域为0，1).引申探究例2(2)中，若将“函数yf(x)的定义域为0，2”改为“函数yf(x1)的定义域为0，2”，则函数g(x)的定义域为_.答案，1)(1，解析由函数yf(x1)的定义域为0，2，得函
8、数yf(x)的定义域为1，3，令得x且x1，g(x)的定义域为，1)(1，.命题点2已知函数的定义域求参数范围例3(1)若函数f(x)的定义域为R，则a的取值范围为_.(2)若函数y的定义域为R，则实数a的取值范围是_.答案(1)1，0(2)0，3)解析(1)因为函数f(x)的定义域为R，所以10对xR恒成立，即20，x22axa0恒成立，因此有(2a)24a0，解得1a0.(2)因为函数y的定义域为R，所以ax22ax30无实数解，即函数tax22ax3的图象与x轴无交点.当a0时，函数y3的图象与x轴无交点；当a0时，则(2a)243a0，解得0a3.综上所述，a的取值范围是0，3).思维
9、升华(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍.(2)求抽象函数的定义域：若yf(x)的定义域为(a，b)，则解不等式ag(x)0)x2.(2)要使函数的定义域为R，则mx24mx30恒成立.当m0时，得到不等式30，恒成立；当m0时，要使不等式恒成立，需满足即或即解得0m1)(2)2x7(3)解析(1)(换元法)令t1(t1)，则x，f(t)lg，即f(x)lg(x1).(2)(待定系数法)设f(x)axb(a0)，则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即ax5ab2x17，不论x为何值都成
10、立，解得f(x)2x7.(3)(消去法)在f(x)2f()1中，用代替x，得f()2f(x)1，将f()1代入f(x)2f()1中，可求得f(x).思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)消去法：已知f(x)与f或f(x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).(1)已知
11、f(x)x2，求f(x)；(2)已知一次函数f(x)满足f(f(x)4x1，求f(x)；(3)已知f(x)3f(x)2x1，求f(x).解(1)设xt，则x2(x)22，f(t)t22，f(x)x22.(2)设f(x)kxb(k0)，则f(f(x)k2xkbb，即k2xkbb4x1，或故f(x)2x或f(x)2x1.(3)以x代替x得f(x)3f(x)2x1，f(x)3f(x)2x1，代入f(x)3f(x)2x1可得f(x)x.2.分类讨论思想在函数中的应用典例(1)已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_.(2)(2015山东改编)设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是_.思想方法指导(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解；(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围.解析(1)当a0时，1a1，由f(1a)f(1a)，可得2(1a)a(1a)2a，解得a，不合题意.当a1，1a1，由f(1a)f(1a)，可得(1a)2a2(1a)a，解得a，符合题意.(2)由f(f(a)2f(a)，得f(a)1.当a1时，有3a11，a，a1.当a1时，有2a1，a0，a1.综上，a.答案
