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1、【2019最新】精选高考数学大一轮复习高考专题突破六高考中的圆锥曲线问题教师用书1(2015课标全国)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为()A. B2 C. D.答案D解析如图，设双曲线E的方程为1(a0，b0)，则|AB|2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MNx轴于点N(x1,0)，ABM为等腰三角形，且ABM120，|BM|AB|2a，MBN60，y1|MN|BM|sinMBN2asin 60a，x1|OB|BN|a2acos 602a.将点M(x1，y1)的坐标代入1，可得a2b2，e ，选D.
2、2设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.答案D解析由已知得焦点坐标为F(，0)，因此直线AB的方程为y(x)，即4x4y30.方法一联立直线方程与抛物线方程化简得4y212y90，故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|6.方法二联立方程得x2x0，故xAxB.根据抛物线的定义有|AB|xAxBp12，同时原点到直线AB的距离为h，因此SOAB|AB|h.3(2016山西质量监测)已知A，B分别为椭圆1(ab0)的右顶点和上顶点，直线ykx(k0)与椭圆交于C，D两点，若四边形ACBD的面积的最
3、大值为2c2，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案D解析设C(x1，y1)(x10)，D(x2，y2)，将ykx代入椭圆方程可解得x1，x2，则|CD|x1x2|.又点A(a,0)到直线ykx的距离d1，点B(0，b)到直线ykx的距离d2，所以S四边形ACBDd1|CD|d2|CD|(d1d2)|CD|ab.令t，则t212ab12ab12ab2，当且仅当a2k，即k时，tmax，所以S四边形ACBD的最大值为ab.由条件，有ab2c2，即2c4a2b2a2(a2c2)a4a2c2,2c4a2c2a40,2e4e210，解得e2或e21(舍去)，所以e，故选D.4(2016北京)双
4、曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a_.答案2解析设B为双曲线的右焦点，如图所示四边形OABC为正方形且边长为2，c|OB|2，又AOB，tan1，即ab.又a2b2c28，a2.题型一求圆锥曲线的标准方程例1已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1答案A解析由e，得.又AF1B的周长为4，由椭圆定义，得4a4，得a，代入，得c1，所以b2a2c22，故椭圆C的方程为1.思维升华求圆锥曲线
5、的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程(2015天津)已知双曲线1(a0，b0 )的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为()A.1 B.1 C.y21 Dx21答案D解析双曲线1的一个焦点为F(2,0)，则a2b24，双曲线的渐近线方程为yx，由题意得，联立解得b，a1，所求双曲线的方程为x21，选D.题型二圆锥曲线的几何性质例2(1)(2015湖南)若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A. B. C. D.(2)(2016天津)设抛物线(t为参数，p0)的焦点为
6、F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若|CF|2|AF|，且ACE的面积为3，则p的值为_答案(1)D(2)解析(1)由条件知yx过点(3，4)，4，即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，25a29c2，e.故选D.(2)由(p0)消去t可得抛物线方程为y22px(p0)，F，|AB|AF|p，可得A(p，p)易知AEBFEC，故SACESACF3ppp23，p26，p0，p.思维升华圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系掌握一些常用的结论
7、及变形技巧，有助于提高运算能力已知椭圆1(ab0)与抛物线y22px(p0)有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆1(ab0)的离心率为_答案1解析因为抛物线y22px(p0)的焦点F为，设椭圆另一焦点为E.当x时，代入抛物线方程得yp，又因为PQ经过焦点F，所以P且PFOF.所以|PE| p，|PF|p，|EF|p.故2a pp,2cp，e1.题型三最值、范围问题例3若直线l：y过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行(1)求双曲线的方程；(2)若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直
8、线m在y轴上的截距的取值范围解(1)由题意，可得c2，所以a23b2，且a2b2c24，解得a，b1.故双曲线的方程为y21.(2)由(1)知B(0,1)，依题意可设过点B的直线方程为ykx1(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(13k2)x26kx60，所以x1x2，36k224(13k2)12(23k2)00k2，且13k20k2.设MN的中点为Q(x0，y0)，则x0，y0kx01，故直线m的方程为y，即yx.所以直线m在y轴上的截距为，由0k2，且k2，得13k2(1,0)(0,1)，所以(，4)(4，)故直线m在y轴上的截距的取值范围为(，4)(4，)思维升华圆锥曲线中的
9、最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和均值不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值与范围直线l：xy0与椭圆y21相交于A，B两点，点C是椭圆上的动点，则ABC面积的最大值为_答案解析由得3x22，x，设点A在第一象限，A(，)，B(，)，|AB|.设与l平行的直线l：yxm与椭圆相切于P点则ABP面积最大由得3x24mx2m220，(4m)243(2m22)0，m.P到AB的距离即为l与l的距离，d.SABC.题型四定值、定点问题例4(2016全国乙卷)设
10、圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围解(1)因为|AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4.由题设得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为1(y0)(2)当l与x
11、轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120.则x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|.过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y(x1)，点A到m的距离为，所以|PQ|2 4.故四边形MPNQ的面积S|MN|PQ|12 .可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12,8)思维升华求定点及定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理
12、、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值(2016北京)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|BM|为定值(1)解由已知，ab1.又a2b2c2，解得a2，b1，c.椭圆方程为y21.(2)证明由(1)知，A(2,0)，B(0,1)设椭圆上一点P(x0，y0)，则y1.当x00时，直线PA方程为y(x2)，令x0，得yM.从而|BM|1yM|.直线PB方程为yx1.令y0，得xN.|AN|2xN|.|AN|BM|4.当
13、x00时，y01，|BM|2，|AN|2，|AN|BM|4.故|AN|BM|为定值题型五探索性问题例5(2015广东)已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：yk(x4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由解(1)圆C1：x2y26x50化为(x3)2y24，圆C1的圆心坐标为(3,0)(2)设M(x，y)，A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，由圆的性质知MC1MO，0.又(3x，y)，(x，y)，由向量的数量积公式得x23xy20.易知直线l的斜率
