量子力学 初步课件

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1、第三章 量子力学初步,3.1 物质的二象性,3.2 测不准原理,3.3 波函数及其物理意义,3.4 薛定谔波动方程,3.5 量子力学问题的几个简例,3.6 量子力学对氢原子的描述,19 世纪末，物理学晴朗的天空 飘着几朵乌云,物理学面临严重的危机!,黑体辐射,光电效应,康普顿效应,氢原子光谱实验规律,., 3.1 物质的二象性,一. 光的二象性,光的干涉、衍射、偏振等现象波动性,黑体辐射、光电效应微粒性,Einstein认为：,光不仅是电磁波，而且还是一个粒子。 根据他的理论，电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量 h的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。

2、,一个光子的能量：,按照相对论原理：,二. 微观粒子的波动性,受Planck-Einstein 光量子论以及Bohr量子论的启发，1924 年 de. Broglie设想：,（1）我们可以观察到的宇宙由光和实物组成； （2）既然光具有波粒二象性，实物也可能具有这种波粒二象性。,de. Broglie假定： 一个能量为 E，动量 p 的实物粒子，同时具有波动性（称之为“物质波”或“德布罗意波”） 。德布罗意波的频率和波长分别为：,该关系称为de. Broglie关系。,在宏观上，飞行的子弹m=10-2Kg，速度V=5.0102m/s 对应的德布罗意波长为：,在微观上，如电子m=9.110-31K

3、g，速度V=5.0107m/s, 对应的德布罗意波长为：,太小测不到！,例题：,三. 德布罗意波的实验验证,1927-1928年戴维孙（C.J.Davisson）和革末（L.S.Germer） 利用电子衍射实验证实了物质波的存在。,1. 实验装置,G：电子源，发出电子束； T：晶体表面，可绕x轴旋转 一周； C：电子接收器（测接收到的 电子的数量）;可转动，中 心在轴上（如光栅一样）,2. 实验原理及实验内容,如右图，如果电子确有波动性，则射入晶体表面时就会发生衍射现象。,强波束射出的条件为：,根据德布罗意关系，电子的德布罗意波长为,实验中,采用电场来使电子加速，则有,例：,所以，有,即，当保

4、持d和一定，随着电压的变化，满足 时，接收器收到的电子数将增大。,3. 实验结果,P82页，图3.3,同年，G.P.汤姆逊将电子射过金属箔，获得了多晶体上电子的透射衍射图样。,1928年，菊池正士将电子束射在云母片上，获得了单晶体上电子的透射衍射图样。,1961年约恩还给出了电子的单缝和多缝衍射图,1993年，Crommie等人用扫描隧道显微镜技术，把蒸发到铜（111）表面上的铁原子排列成半径为7.13nm的圆环形量子围栏，用实验观测到了在围栏内形成的同心圆状的驻波(“量子围栏”)，这是世界上首次观察到电子驻波的直观图形。该图直观地证实了电子的波动性。,铁原子形成的量子围拦,3.2 测不准原理

5、(The uncertainty principle),一. 测不准关系（不确定关系）的表达和含义,1. 位置和动量的不确定关系式,1927年，海森伯提出，测不准关系反映了微观粒子运动的基本规律，是物理学中的一个极为重要的关系式，包括多种表达式。,为普朗克常数,表示：测量时坐标和动量都有一定的不确定度，并且当其中一个量被测量的越准确另一个量就被测量的越不准确，它们的乘积满足 的关系。,例1：电子的单缝衍射,设 y 方向运动的电子穿过狭缝前 ，若电子没有波动性,它穿过狭缝时，仍有 。只要尽可能地将 缩小，就可同时准确地确定电子穿过狭缝时的坐标 和动量 。,考虑到微观粒子具有波动性,当它穿过狭缝时

6、,会发生衍射现象, 在x方向，粒子的坐标 , 动量Px 不可能同时有确定的值。,粒子的坐标不确定范围为：,动量在 ox 方向的分量：,（单缝衍射一级极小的条件）,ox 轴上，动量的不确定量,将德布罗意关系式 代入上式得：,如果把次级极大包括在内，则有,对三维运动：,例2. 对速度为 v=105 m.s-1 的 射线， 若测量速度的精确度为 0.1% 即,求：电子位置的不确定量,解：,例3. 试比较电子和质量为10g 的子弹在确定它们位置时 的不确定量 x ，假定它们都在 x 方向以 200m.s-1 的速度运动，速度的测量误差在 0.01% 以内。,解： 跟据不确定关系：,得,对电子,对子弹,

7、例4. 用不确定关系讨论原子中电子的速度,*原子的线度的数量级是 10-10 m ，原子中确定电子位置的不准确量为 x 10-10 m ，,*原子中电子速度的不确定量按不确定关系,*按经典力学算氢原子的电子在轨道上速度的数量级为 10 6 m.s-1,不能用经典理论计算原子核外电子的速度。,估算为：,结论：,动量的不准确量为 P x h/ x .,关于h的几句话：,非常小,令：h0,那么：在任何情况下都可有x=0、Px=0,波,粒子,波粒二象性就将从自然界中消失！,让h大一点：,子弹射出枪口的横向速度：,波粒二象性就将统治到宏观世界中！,不大不小,正好！,2. 能量和时间的不确定关系式,推导：

8、,所以，,结论：测不准关系来源于物质的波粒二象性，是物质的客观规律；凡是经典力学中共轭的动力变量之间都有这个关系。,二. 测不准关系的应用举例,a) 对电子不能落入核内的解释,玻尔理论中，只是根据实验事实，假定电子处在一定的轨道上，不能辐射。但不能解释电子为什么不能落入核内。因为当电子离核越来越近时， 越小， 必将越来越大。由于没有这一能量来源，因此电子不能无限靠近原子核，更不要说落入核内了。,b) 谱线的自然宽度,原子中某激发态的平均寿命为,处于激发态能级上的电子都有一定的寿命,不确定关系,普朗克 能量子假说,谱线的自然宽度,3.3 波函数及其物理意义,1. 自由粒子的波函数,机械波：,电磁

9、波：,一个自由粒子的波：,自由粒子不受力,其中 的意义如图示,图3.5 有关平面波诸量的关系,写成复数形式，则为，,其中 （1）是（ 2）的实数部分。,因为，,所以，（2）式又可以写成,将表示微粒性的能量和动量代入即，,，则,量子力学中的一般表示：,二. 波函数的物理意义,1. 电子的双缝干涉实验,类似于光的杨氏双缝干涉实验，人们用电子束代替光源，通双缝后，也观察到了明暗相间的干涉条纹。,如果将电子束的强度减弱，使电子一个一个地通过狭缝，实验表明，只要照射时间足够长，仍然能观察到干涉条纹 。,如果粒子的波函数为 ，则波函数的模方 代表某时刻在空间某地点，发现粒子的几率（一般 为复数， 是 的共

10、扼复数） 。,1927年，波恩（M.Born）在解释散射时首先提出波函数的物理意义，他认为：,所以，在任意体积 中发现一个粒子的几率为,表示单位体积中发现一个粒子的几率，称为几率密度。 德布罗意波函数的物理意义,a)连续性: 作为几率, 在空间上不会发生突变, 因而必须处处连续。 b)单值性: 在空间任何一点，都只能有1个几率。 c) 有限性: 几率不可能无限大。 d)归一性：粒子在空间各点出现的几率的总和为1，即,波函数满足的条件,3.4 薛定谔波动方程,一. 自由粒子的薛定谔方程,描述自由粒子的波函数为,上式对x，y，z求二阶偏微商：,所以，,同理：,，,（1）,（2）,Erwin Sch

11、rdinger (18871961),相加，有,定义：,将（1）式再对时间取一阶偏微商，有,如果对自由粒子，考虑非相对论情形，,，,（3）,（4）,将(3)(4)代入(5)得，,自由粒子的薛定谔方程,（5）,二. 力场中粒子的薛定谔方程,对于处在一个力场中的非自由粒子，由于其能量为动能势能，即,同理，将(3)(4)代入上式得，,薛定谔方程的一般形式(The Schrdinger equation),它是描述力场中粒子行为的微分方程，这个方程的正确性要看其对问题的结论是否与实验相符。,定态：能量不随时间变化的状态。,三定态薛定谔方程( the time-independent Schrdinge

12、r equation. ),在定态条件下，能量不随时间变化，波函数可以被分离变量,代入薛定谔方程的一般形式得：,可设它们等于一个与时间和坐标都无关的常数E，则有,解这个微分方程可得：,则：,与自由粒子方程比较, 可见这时E就是能量, 称这种状态为定态。,2. 波函数可表示为,3. 空间波函数满足,4. 定态条件下，发现粒子的几率， 与时间无关；,5. 波函数还必须满足三个条件（单值，连续，有限）。,称为定态薛定谔方程；,1. 能量不随时间变化；,粒子处于定态的特点：,四. 量子力学算符(operator),对应于经典力学中的每一个力学量，在量子力学中都可以用一个算符来表示。,1. 动量算符,所

13、以，对应动量 ，算符：,同理，对应动量 ，算符：,对应动量 ，算符：,由于，,所以，,算符：,2. 能量算符,因为，,所以，,算符：,又因为，,另外，,代表位置 的算符为其本身：,与坐标有关的势能V(r) 的算符为其自身 ：,将P2，V的算符代入上式，得，, 经典力学中的哈密顿函数,或者, 哈密顿算符（或能量算符）,H只包含空间变量，不包含时间，将其作用于 ，即有,定态薛定谔方程（本征值方程 ）,其中E为哈密顿算符的本征值(eigenvalue) ，u为与本征值相应的本征函数(eigenfunction )。显然本征值就是测量能量时的可能值。,对于其它的力学量 （如动量、角动量），也可以列出其

14、本征值方程,根据边界条件（ boundary condition ）解这该本征方程，即可求出本征值 和相应的本征函数 。,3.5 量子力学问题的几个简例,1. 问题：在一维空间中运动的粒子，空间中势能满足,一. 无限高势壁之间的一维运动,2. 经典力学描述（V的意义，相当于刚性壁）,对于任意能量的粒子，由于是刚性壁，它都只能在I区中运动。,3. 量子力学的描述,因为势函数不随时间变化，因此这是一个定态问题，可用定态薛定谔方程来求解。,一维运动的定态薛定谔方程为,即有，,由于V(x)在不同区域内有不同的形式，因此必须分区求解:,(1) 解方程求波函数,区域I:,(1)式变为，,设,所以，,或,(

15、1),区域II:,(1)式变为，,设,所以，,（即II区的波函数为零）,当，,当，,不符合波函数的有界条件，舍去,所以，,（2）求能量本征值,根据波函数的连续性，在 处，I和II区的波函数必须连续，则有,(3)+(4),可得,(3)-(4),可得,(3),(4),所以，有,相邻能级间隔：,表明：(1) n越大，能级间隔越大； (2) m和a与h有相同的数量级时，能量的量子化才显示出来。,即:,（3）对应于本征值的本征函数,根据前面的推导，区域II的波函数为零，区域I的波函数为：,因为，,所以，,由波函数的连续性， I区和II区的波函数应该相等, 即,（4）本征函数的归一化,根据归一化条件，,有

16、，,将，,代入上式，得,由此算出，,所以，I区归一化的本征函数为：,（5）宇称,偶函数（空间对称性为偶性，称为具有偶宇称）,注意：宇称不仅是函数的性质，也是函数所代表的物理状态（量子态）所具有的性质。,若：波函数满足,奇函数（空间对称性为奇性，称为具有奇宇称）,若：波函数满足,例：,偶宇称,奇宇称,二. 简谐振子,在稳定平衡态附近作微振动的任何体系，都可以作为线性谐振子来处理，其受力为,设平衡位置x=0，并选取能量尺度的原点使V（0）=0，则 势能：,（1）线性谐振子的薛定谔方程,哈密顿函数：,哈密顿算符：,定态薛定谔方程：,即，,（1）,（1）式可改写为，,令,（2）,（2）式可以简化为,（3）,（2）本征函数与本征值,方程（3）的解为,其中， 为厄米（Hermite）多项式,为了使函数 满足有限性条件，必须有,于是最后得：,基态能