《重积分的应用课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《重积分的应用课件（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4 重积分的应用,一、微元法,(1) 所求量 Q 分布在区域上，且对具有可加性：,i,QQi,Q=Qi,(2)当 i 很小时，近似地有Qi f (Xi)i,dQ=f (X)d,二、面积,1. 平面图形面积,例1. 求由抛物线y=(x2)2+1, 直线y=2x所围图形的面积.,解：,(1, 2), (5, 10),2. 曲面面积,(1): z=z(x, y), 投影区域Dxy且 z(x, y)C 1(Dxy).,思考问题,(2): x=x(y, z), 投影区域Dyz,(3): y=y(x, z), 投影区域Dxz,例2：求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a0)内部的那部分
2、面积.,解：A=4A1, :,Dxy: x2+y2ax, y0.,z,y,x,Dxy, A=4A1=2(2)a2,例3. 求由抛物线 z=x2 上从 x=1 到 x=2 的一段绕z 轴旋转一周所生成的旋转曲面的面积.,解：: z=x2+y2,Dxy: 1x2+y22,一般地，由曲线 z= (x)(0axb)绕 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面的面积为,其中 D=(x, y)|a2x2+y2 b2,转化为极坐标有,3. 曲面面积,以 xy 平面上曲线 L 为准线，母线平行于 z 轴的柱面被曲面 :z=z(x, y)所截，位于 与 xy 坐标面之间的部分的面积为,在L上取ds, 则,故有,对弧长曲线
3、积分的几何意义,例4. 求柱面x2+y2=ax含在球面x2+y2+z2=a2(a0)内部的那部分面积.,解：A=4A1,0 xa,z,y,x,L,三、体积,例5. 求由旋转抛物面y=x2+z2抛物柱面,及平面 y=1所围立体体积.,解：V=2V1,x,1,0,z,y,例6. 求圆柱体x2+y2ax(a0)被球面x2+y2+z2=a2截得的含在球面内的立体的体积.,解：V=4V1,z,y,x,D,例7. 计算由椭圆抛物面z=x2+2y2及抛物面z=2x2所围立体体积.,解：,D: x2+y21,四、弧长,例8. 求空间曲线: x=3t, y=3t2, z=2t3从点(0, 0, 0) 到点(3,
4、 3, 2)的一段弧长,解：(0, 0, 0) t=0; (3, 3, 2) t=1,=5,五、质量,几何形体 的质量分布密度为 (X), X,则 d M= (X)d,故,(1) 平面薄板 D, 质量面密度(x, y),(2) 立体 ：质量体密度 (x, y, z),(3) 曲线型物体 L( ) ：质量线密度 (x, y) ( (x, y, z),(4) 曲面型物体 ：质量面密度 (x, y, z),解：体密度为, (x, y, z)=k (x2+y2+z2),(x, y, z),由,得,所以,例10. 一个圆柱面x2+y2=R2介于平面 z=0， z=H之间，其质量面密度等于柱面上的点到原点
5、的距离之平方的倒数，求其质量.,解1.,(x, y, z),则 = 1+ 2,且,令1：,2：,(y0),(y0),而 Dxy=(x, y)|RxR, 0 z H,在1上，,故,从而,在2上，,有,所以,解2：取柱面坐标 x=rcos, y=rsin , 则柱面方程为r=R, 柱面上面积元素dS=Rddz,则,六、重心,(1) 平面薄板D,由静力学, xy平面上n个质点(x1, y1), , (xn, yn), 其质量分别为m1, , mn，则该质点系的重心坐标为,其中,分别称,为该质点系对 y 轴和 x 轴的静力矩，,为该质点系的总质量.,设平面薄板D，质量面密度 (x, y),则,又,若 为常数，则,其中,称之为形心.,(2)立体 : 质量体密度 (x, y, z),其中,思考问题,曲线和曲面型物体的重心坐标？,例11. 求r=2sin和r=4sin所围均匀薄片 D 的形心.,解：因D关于 y 轴对称，故, 形心为,例12. 在底圆半径为 R , 高为 H 的圆柱体上拼加一个半径为 R 的半球体，要使拼加后的整个立体 的形心位球心处，求 R 与 H 的关系.,解：由题意选择坐标系如图，,则,圆柱体：x2+y2 R2, Hz0,半球体：x2+y2+z2R2, z0,因 关于 y 轴对称, 故有,而,其中 V 为 的体积,令,得,故有,
