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1、第九章 习题课,重积分,一 基本要求 1理解重积分的概念. 2了解重积分的性质，明确重积分是定积分的推广. 3掌握二重积分的计算方法（直角坐标极坐标），会计算简单的三重积分（直角坐标柱面坐标球面坐标）. 4会用重积分求一些几何量和物理量.,二.要点提示,二重积分是定积分的推广，其计算方法是化为二次积分来计算. 三重积分可以化为一个单积分和一个二重积分或三次积分来计算.,1.重积分的计算,二重积分：,则 （先y后x）,X-型区域:,若积分区域D可表示为,在直角坐标系下,若积分区域 D可表示为Y-型区域：,若D 不是X-型、Y-型 区域，可由重积分的 可加性来计算.,则(先x后y),在极坐标下 （
2、一般总是先对r 积分后对 积分）:,则,D:,若D不包含极点，,若D包含极点.,则,D:,可以把复杂的二次积分化为较简单的 二次积分。 一般步骤为 所给二次积分 将D表示为不等式 画出积分域 D 的新的不等式表示 新的二次积分.,2.交换积分次序,三重积分：,设 在空间有界区域 上连续，,a. 直角坐标系,先二后一(截面法）,设 在z轴上的投影区间为 , 有界闭区域 为平行于xoy面的 的任意截面，则,b.柱面坐标系,面积元素为,柱面坐标与直角坐标的关系：,c.球面坐标系,体积元素为,球面坐标与直角坐标的关系：,3.二重积分的对称性,（1）如果D关于y轴对称,则 有,其中,其中,（2）如果D关
3、于x轴对称,则 有,其中 同上.,（4）如果D关于直线 对称，则,（3）如果D关于原点对称,则 有,答：不对。正确的是,三 问题与思考,问题2. 选择积分次序计算二重积分应该 考虑哪些方面? 交换积分次序的步骤是什么?,答：两个方面，被积函数和积分区域.,步骤是：由累次积分的积分限，还原出 积分区域，再将重积分按照新的次序化为 二次积分.,问题3. 针对积分区域和被积函数的特点, 如何选取直角坐标和极坐标以计算二重积分? 如何选取直角坐标、柱面坐标和球面坐标以 计算三重积分?,答：若积分区域为圆（部分）域、扇形或扇面等，被积函数中含有 ，则常采用极坐标计算二重积分.,如果积分区域在某坐标面上的
4、投影为 圆域、扇形域、圆环域或它们的一部分, 被积函数化为柱面坐标形式比较简单 (比 如 等形式), 则利用柱面坐标计 算三重积分常能简化运算.,问题4写出在不同坐标下的二重积分的 面积元素和三重积分的体积元素.,体积元素:,柱面坐标：,球面坐标：,答：面积元素:,极坐标：,直角坐标：,直角坐标：,四 典型题目,为三顶点的三角形区域.,若改变积分次序，计算繁.,1.解 先x后y积分,解,由对称性，有,注意:,分别用三种不同的坐标和先二后一法 计算,解 直角坐标：,柱面坐标：,球面坐标：,先二后一法：,注：如果被积函数只依赖于一个变量， 而以该变量去截积分区域而截面的面积 又容易求得时，用“先二后一”法来计算 三重积分常常能简化运算.,5.分别利用定积分，二重积分和三重积分 计算旋转抛物面 和平面 所围成的空间区域的体积.,解 用定积分计算旋转体(绕z轴)的体积,用二重积分计算,用三重积分计算,由柱面坐标,有,(圆柱体-曲顶柱体),( 的体积),
