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1、第二讲 工程仿真和有限元法简介,课 程 背 景,大多数实际工程系统地分析可分类为: 固体(结构)的强度、刚度和稳定性分析(位移、应力和应变场)静态分析; 结构的振动特性分析动态分析; 流体力学中的流场分析; 传热学中的温度场分析; 电磁学中的电磁场分析。 最终归结为:在给定边界条件下,求解控制方程(常微分或偏微分方程)求解边值问题。,解析解的困难,1 工程系统的构成较复杂 板、壳、梁、实体 多场耦合 2 非线性 材料非线性; 几何非线性; 边界条件非线性接触问题 3 外载的形式复杂 静态、动态 温度载荷,计算力学的主要方法,弹 性 力 学 边 值 问 题,计算机仿真一门新兴的边缘学科,仿真技术
2、在新产品研发中的应用,有限元法的分析过程,有限元分析的六个基本步骤是: 结构离散化; 选择位移模式; 分析单元力学特性; 集合所有单元的平衡方程,建立整个结构的平衡方程; 求解未知节点位移; 计算单元应变和应力。,平面问题有限元方法介绍,以平面三角形为例:,1、设定位移函数,写成矩阵:,单元内的位移通过节点的位移插值得到。对于三角形单元,可假定单元内的位移为 的线性函数。,既然是单元内某点的位移表达式,当然三个节点上的位移也满足同样的表达式。,可以得到:,这里: 是广义坐标。,式中:,为不使A 为负值,图1中的i,j,k必须按逆时针方向标注,将上述式子代入 有:,或写成:,可简写为:,上式为单
3、元内某点的节点位移插值表示的多项式,称N为形状函数,其中:,选取单元位移函数的一般原则:,广义坐标 是由节点场变量确定,因此,其个数必须与节点自由度个数相等; 选取多项式时,常数项(反映刚体位移)和坐标的一次项(反映常应变)必须完备;当单元数目趋于无穷时,单元缩小趋于一点,此时单元应变为常应变; 多项式的选取应由低阶到高阶,尽量选取完全多项式以提高单元精度。,2、由位移函数求应变,由弹性力学的知识:,可得:,或写成:,3、由应变求应力,对于平面问题:,对于平面应力:,4、由虚功原理求单元刚度矩阵,给单元节点以任意虚位移:,虚位移、虚应变分别可表示为:,虚功原理:当结构受载荷作用处于平衡状态时,
4、 在任意给定的虚位移下,外力 及内力 所 做的虚功之和为零。,单元节点的虚功:,单元内力的虚功:,即,由虚功方程:,是任意的,可消去:,或:,其中,把 B 和 D 代入上式,得平面应力问题的三角形单元刚度矩阵:,t 是单元厚度,单元刚度矩阵任意元素 的物理意义,当单元的第j 个节点位移为单位位移而其它节点位移为零时,须在单元第i 个节点位移方向上施加的节点力大小。 显然,单元刚性越大,则使节点产生单位位移所需施加的节点力就越大。,单元刚度矩阵的特点,对称性 奇异性 物理解释:单元处于平衡时,节点力相互不是独立的,它们必须满足平衡方程,因此,它们是线性相关的。另一方面,即使给定满足平衡的节点力
5、f,也不能确定单元节点位移 ,因为单元还有任意的刚体位移。 主元恒正 物理解释:要使节点位移 ,施加在 方向的节点力 必须与位移 同向。,有限单元法的解题步骤,1、单元剖分和插值函数的确定,根据构件的几何特性、载荷情况及所要求的变形,建立由各种单元组成的计算模型。然后再按单元的性质和精度要求,写出表示单元内任意点的位移函数。,利用节点,可以写出以 表示的节点位移,求 及 ,并代入,它是用节点位移表示单元内任意点位移的插值函数式。,2、单元特性分析,根据位移插值函数,由弹性力学给出的应力应变关系,计算应变为:,B 是应变矩阵。相应的变分为:,由物理关系(本构关系),由虚功原理:,得节点力与位移间
6、的关系为:,其中:,3、单元组集,把各单元按节点组集成与原结构相似的整体结构,得到整体结构的节点力与节点位移的关系,即整体平衡方程:,对于结构静力分析,载荷列阵 f 可包括:,其中:体积力,表面力:,集中力:,4、解有限元方程,解题前,需对结构平衡方程组进行边界条件处理(直接代入法;置大数法;对角元素置1 法) ; 采用不同的方法解有限元方程,得出节点位移。,对角元素置 1 法,5、计算应力,计算得到节点位移 后,由 和 即可求出相应节点应力。,置大数法,有限元分析的流程,CAD几何模型,输入离散模型数据,按选择的单元计算单元刚度矩阵,按总刚存储模式集成总刚,按单元循环,计算单元等效节点载荷,
7、集成结构节点载荷列阵,引入位移边界条件,按选定解法解线性方程,消除K的奇异性,求解Kq=f,辅助计算,根据 计算,结果输出,结 束,有限元分析软件的构成,前处理(Preprocessing):形成有限元模型所需要的单元、节点数据;材料特性、边界条件和载荷条件。,求解程序(Solution):计算刚度矩阵、载荷列阵,求解平衡方程,计算应力、应变。,后处理(Postprocessing):将计算结果(位移、应力、应变等)通过图形、表格等不同方式形象化地表现出来。,热分析例子,铸造过程 二维瞬态传热 材料性能随温度变化 考虑对流,忽略辐射 考虑相变潜热 利用对称性,导入模型,设置优选项为Therma
8、l 通过input文件导入模型,定义材料属性,砂型: 导热系数“KXX” = 0.025 比热“C” = 0.28 密度“DENS” = 0.54 铸件材料 导热系数和焓随温度变化,铸件材料属性随温度变化曲线,导热系数,焓,定义单元类型,Thermal Solid Quad 4node 55 (保存数据库),划分网格,砂型:材料1 铸件:材料2,施加载荷,在砂型周边施加对流边界条件,定义分析类型,瞬态,完全积分,指定初始条件,铸件节点2875F,铸件节点2875F,Select everything,设置时间步,总时间4 时间增量0.01 载荷类型:阶跃 最小时间增量0.001 最大时间增量0.25,设置结果输出选项,输出每一子步的结果,保存数据库 求解 求解过程图示,查看结果,进入时间历程后处理器,查看某一点的温度变化曲线,查看某一时刻的温度场,查看温度场变化动画,退出程序,