《第二章优化设计课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章优化设计课件（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.1 优化设计的数学模型,一. 机械优化设计方法解决实际问题的步骤 1. 分析实际问题，建立优化设计的数学模型；,分析： 设计的要求（目标、准则）； 设计的限制（约束）条件； 设计的参数，确定设计变量。,建立：机械优化设计方法相应的数学模型。,2. 分析数学模型的类型，选择合适的求解方法（优化算法）。,3. 编程上机求数学模型的最优解，并对计算的结果进行评价分析, 最终确定是否选用此次计算的解。,2.1 优化设计的数学模型,举例：圆形等截面销轴的优化设计的数学模型 已知：轴的一端作用载荷 P=1000N，扭矩 M=100Nm；轴长不得小于8cm；材料的许用弯曲应力 w=120MPa，许用扭剪
2、应力 = 80MPa，许用挠度 f = 0.01cm；密度 = 7.8t /m，弹性模量E=2105MPa。,分析：设计目标是轴的质量最轻 Q =1 /4 d2 l min. ；,要求：设计销轴，在满足上述条件的同时，轴的质量应为最轻。,设计限制条件有5个： 弯曲强度：max w 扭转强度： 刚度： f f 结构尺寸：l 8 d 0,设计参数中的未定变量：d、l,2.1 优化设计的数学模型,具体化：目标函数 Q = 1 /4 d2 l min. 约束函数 max = Pl / ( 0.1d3 )w = M / ( 0.2d3 ) f = Pl3 / ( 3EJ ) f l 8 d 0,代入数据
3、整理得数学模型： 设：X =x1,x2 T = d ,l T min. f(x)= x12x2 XR2 s.t. g1(x)= 8.33 x2 - x13 0 g2(x)= 6.25 - x13 0 g3(x)= 0.34 x23 - x14 0 g4(x)= 8 - x2 0 g5(x)= - x1 0,二.举例（续）,2.1 优化设计的数学模型,机械优化设计数学模型的一般形式： 设 X =x1,x2 ,xnT min. f(x) = f(x1, x2 ,xn ) XRn s.t. gu(x) 0 u = 1,2,m hv(x) = 0 v = 1,2, p n, 设计变量 目标函数 约束函
4、数,（性能约束）, 约束函数（性能约束） 约束函数（性能约束） 约束函数（几何约束） 约束函数（几何约束）,（不等式约束） （等式约束）,属于2维欧氏空间,根据例子中的数学模型： 设： X =x1,x2 T = d ,l T min. f(x)= x12x2 XR2 s.t. g1(x)= 8.33 x2 - x13 0 g2(x)= 6.25 - x13 0 g3(x)= 0.34 x23 - x14 0 g4(x)= 8 - x2 0 g5(x)= - x1 0,三. 优化设计的数学模型,2.2 优化设计的三大要素,一.设计变量：,设计变量：在优化设计过程中是变化的，需要优选的量。 设计参
5、数：在优化设计过程中保持不变或预先确定数值。,可以是几何参数：例，尺寸、形状、位置 运动学参数：例，位移、速度、加速度 动力学参数：例，力、力矩、应力 其它物理量：例，质量、转动惯量、频率、挠度 非物理量： 例，效率、寿命、成本,设计变量：优化设计问题有 n 个设计变量 x1,x2 ,xn， 用 xi (i = 1,2,n)表示，是设计向量 X 的 n个分量。 设计向量：用 X =x1, x2 , ,x nT 表示， 是定义在 n 维欧氏空间中的一个向量。,2.2 优化设计的三大要素,设计点: X(k)（x1(k), x2 (k), ,x n(k)）： 是设计向量X(k)的端点，代表设计空间中
6、的一个点，也代表第 k 个设计方案。可能是可行方案、也可能不是可行方案。,设计空间 Rn ： 以x1, x2 , ,xn 为坐标轴，构成 n 维欧氏实空间Rn。它包含了所有可能的设计点，即所有设计方案。,例：右图三维空间中 第1设计点：X(1) = x1(1),x2(1),x3(1)T 第2设计点：X(2) = x1(2),x2(2),x3(2)T 其中：X(2) = X(1) +X(1) 增量：X(1)=x1(1),x2(1),x3(1)T 即 x1(2) = x1(1) + x1(1) x2(2) = x2(1) + x2(1) x3(2) = x3(1) + x3(1),一.设计变量（续
7、）,2.2 优化设计的三大要素,设计约束：设计变量值(设计点)的选择不仅要使目标函数达到最优值， 同时还会受一定的条件限制，这些制约条件称设计约束。,约束函数：设计约束是设计变量的函数，称为约束函数。,不等式约束函数： gu(x) 0 u = 1,2,m 等式约束数： hv(x) = 0 v = 1,2, pn,问题：是否每个设计约束中都必须包含 n个设计变量？m+p个约束呢？ 不等式约束能否表达成 gu(x) 0 ？ p 为什么必须小于 n ?,例：有三个不等式约束 g1(x) = - x1 0 g2(x) = - x2 0 g3(x) = x12 + x22 - 1 0,再加一个等式约束
8、h(x) = x1- x2 = 0,D,二.约束函数,2.2 优化设计的三大要素,约束（曲）面： 对于某一个不等式约束 gu(x) 0 中，满足 gu(x) = 0的 x 点的集合构成一个曲面，称为约束（曲）面。,它将设计空间分成两部分：满足约束条件 gu(x) 0 的部分和不满足约束条件 gu(x) 0 的部分。,设计可行域（简称为可行域） 对于一个优化问题，所有不等式约束的约束面将组成一个复合的约束曲面，包围了设计空间中满足所有不等式约束的区域，称为设计可行域 。,记作 D =,g u(x) 0 u = 1,2,m h v (x) = 0 v = 1,2, p,问题：等式约束与约束曲面是什
9、么关系？,D,二. 约束函数 （续1）,2.2 优化设计的三大要素,可行设计点（内点）： 在可行域内任意一点称为可行设计点，代表一个可行方案。,极限设计点（边界点）： 在约束面上的点称为极限设计点。,若讨论的设计点 x(k)点使得 gu(x(k) ) = 0，则 gu(x(k)0 称为 适时约束或起作用约束。,非可行设计点（外点）： 在可行域外的点称为非可行设计点，代表不可采用的设计方案。,二. 约束函数 （续2）,问题： 极限设计点是否代表可行设计方案？ 什么约束一定是适时约束？ 可行域是否一定封闭？,2.2 优化设计的三大要素,目标函数： 优化设计的过程是从可行设计解中，找出一组最优解的过
10、程。需要一个准则来评价当前设计点（解）的最优性。 这个准则包含各个设计变量，作为评价函数，一般称为目标函数，也称为评价函数、准则函数、价值函数。,多目标函数： 由于评价准则的非唯一性，目标函数可以是一个单目标函数，也可以是多个称为多目标函数。,单目标函数的表达式为：f(x) = f(x1, x2 , ,xn ) 多目标函数的表达式为：f(x) = 1f1(x)+2f2(x)+qfq(x) =,其中： f1(x)，f2(x)， fq(x)代表 q 个分设计目标； 1，2， ，q 代表 q 个加权系数。,三. 目标函数,2.2 优化设计的三大要素,说明： f(x)必须是x的函数，应随设计点的变化f
11、(x)的值上升、下降； f(x)应该是实函数，是可计算的。但不一定通过数学公式，还可以用其它数值计算方法计算。 f(x)可以是有物理意义，有单位的，也可以没有物理意义。 例如，销轴的质量： Q =1/4d2l， 1/4是常数， 目标函数可简化为 f(x) = d2 l = x12x2,问题： f(x) 是否一定应包含所有的设计变量 ？ f(x) 若是越大越好，则应如何处理？ 分目标函数f1(x)，f2(x)， fq(x)中，有些是越小越好， 有些是越大越好，则又应如何处理？,三. 目标函数(续）,2.3 优化设计的分类,一. 按模型性质分：,确定型优化问题：静态优化问题（与时间无关或忽略时间因
12、素） 动态优化问题（随时间变化，系统响应变化） 不确定型优化问题（随机优化问题）,二. 按设计变量性质分,连续变量、 离散变量、 随机变量,三. 按约束情况分,1. 按有无约束分： 无约束优化问题 约束优化问题,2. 按约束性质分： 区域约束（几何约束、边界约束） 性能约束（功能约束、性态约束）,2.3 优化设计的分类（续）,四. 按目标函数和约束函数的特性分：,线性规划问题 非线性规划问题 几何规划问题:目标函数与约束函数为广义多项式 二次规划问题：目标函数为设计变量的二次函数,五. 按目标函数的个数分：,单目标优化问题 双目标优化问题 多目标优化问题,2.4 优化设计的数学基础,一. 等值
13、（线）面：,对于可计算的函数 f(x)，给定一个设计点 X(k)(x1(k),x2(k), ,xn (k)，f(x)总有一个定值c 与之对应；而当f(x)取定值 c 时，则有无限多个设计点X(i)(x1(i), x2(i), ,xn(i) ) （i=1,2, ）与之对应，这些点集构成一个曲面，称为等值面。,当 c 取c1,c2, 等值时，就获得一族曲面族，称为等值面族。,当f(x)是二维时，获得一族等值线族； 当f(x)是三维时，获得一族等值面族； 当f(x)大于三维时，获得一族超等值面族。,2.4 优化设计的数学基础,等值线的“心” （以二维为例）,一个“心”：是单峰函数的极（小）值点，是全
14、局极（小）值点。 没有“心”：例，线性函数的等值线是平行的，无“心”，认为极值点在无穷远处。,多个“心”：不是单峰函数，每个极（小）值点只是局部极（小）值点，必须通过比较各个极值点和“鞍点”（须正确判别）的值，才能确定极（小）值点。,一. 等值（线）面：,2.4 优化设计的数学基础,等值线的形状： 同心圆族、椭圆族，近似椭圆族；,等值线的疏密： 沿等值线密的方向，函数值变化快； 沿等值线疏的方向，函数值变化慢。 等值线的疏密定性反应函数值变化率。,严重非线性函数病态函数的等值线族是严重偏心和扭曲、分布疏密严重不一的曲线族。,一. 等值（线）面：,2.4 优化设计的数学基础,方向导数： 二维问题
15、中，f (x1,x2 ) 在 X(0) 点沿方向 s的方向导数为：,其中：,是 X(0)点的梯度。,S 为s方向的单位向量， 。,为 S 的方向角,方向导数,为方向余弦。,为梯度,在方向 s 上的投影。,二. 梯度,2.4 优化设计的数学基础,梯度的性质：, 梯度是 X(0)点处最大的方向导数； 梯度的方向是过点的等值线的法线方向； 梯度是X(0) 点处的局部性质； 梯度指向函数变化率最大的方向； 正梯度方向是函数值最速上升的方向， 负梯度方向是函数值最速下降的方向。,对于 n 维问题的梯度,二. 梯度,2.4 优化设计的数学基础,n 维函数 f(x) 在 x(k) 点的台劳展开式:,二阶近似
16、式：,其中：增量,梯度,Hesse 矩阵,三. Hesse 矩阵与正定,2.4 优化设计的数学基础,Hesse 矩阵的特性：是实对称矩阵。,矩阵正定的充要条件：,主子式 det(ait)0,当主子式 det(ait)0 时，矩阵半正定 det(ait)0时，矩阵负定 det(ait)0时，矩阵半负定,Hesse 矩阵的正定性：,H(x*)正定， 是 x* 为全局极小值点的充分条件； H(x*)半正定, 是 x* 为局部极小值点的充分条件； H(x*)负定， 是 x* 为全局极大值点的充分条件； H(x*)半负定, 是 x* 为局部极大值点的充分条件。,正定的二次函数：曲面为椭圆抛物面； 等值线族为椭圆曲线族，椭圆中心为极小值点。,三. Hesse 矩阵与正定,2.4 优化设计的数学基础,凸
