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1、2.1 优化设计的数学模型,一. 机械优化设计方法解决实际问题的步骤 1. 分析实际问题,建立优化设计的数学模型;,分析: 设计的要求(目标、准则); 设计的限制(约束)条件; 设计的参数,确定设计变量。,建立:机械优化设计方法相应的数学模型。,2. 分析数学模型的类型,选择合适的求解方法(优化算法)。,3. 编程上机求数学模型的最优解,并对计算的结果进行评价分析, 最终确定是否选用此次计算的解。,2.1 优化设计的数学模型,举例:圆形等截面销轴的优化设计的数学模型 已知:轴的一端作用载荷 P=1000N,扭矩 M=100Nm;轴长不得小于8cm;材料的许用弯曲应力 w=120MPa,许用扭剪
2、应力 = 80MPa,许用挠度 f = 0.01cm;密度 = 7.8t /m,弹性模量E=2105MPa。,分析:设计目标是轴的质量最轻 Q =1 /4 d2 l min. ;,要求:设计销轴,在满足上述条件的同时,轴的质量应为最轻。,设计限制条件有5个: 弯曲强度:max w 扭转强度: 刚度: f f 结构尺寸:l 8 d 0,设计参数中的未定变量:d、l,2.1 优化设计的数学模型,具体化:目标函数 Q = 1 /4 d2 l min. 约束函数 max = Pl / ( 0.1d3 )w = M / ( 0.2d3 ) f = Pl3 / ( 3EJ ) f l 8 d 0,代入数据
3、整理得数学模型: 设:X =x1,x2 T = d ,l T min. f(x)= x12x2 XR2 s.t. g1(x)= 8.33 x2 - x13 0 g2(x)= 6.25 - x13 0 g3(x)= 0.34 x23 - x14 0 g4(x)= 8 - x2 0 g5(x)= - x1 0,二.举例(续),2.1 优化设计的数学模型,机械优化设计数学模型的一般形式: 设 X =x1,x2 ,xnT min. f(x) = f(x1, x2 ,xn ) XRn s.t. gu(x) 0 u = 1,2,m hv(x) = 0 v = 1,2, p n, 设计变量 目标函数 约束函
4、数,(性能约束), 约束函数(性能约束) 约束函数(性能约束) 约束函数(几何约束) 约束函数(几何约束),(不等式约束) (等式约束),属于2维欧氏空间,根据例子中的数学模型: 设: X =x1,x2 T = d ,l T min. f(x)= x12x2 XR2 s.t. g1(x)= 8.33 x2 - x13 0 g2(x)= 6.25 - x13 0 g3(x)= 0.34 x23 - x14 0 g4(x)= 8 - x2 0 g5(x)= - x1 0,三. 优化设计的数学模型,2.2 优化设计的三大要素,一.设计变量:,设计变量:在优化设计过程中是变化的,需要优选的量。 设计参
5、数:在优化设计过程中保持不变或预先确定数值。,可以是几何参数:例,尺寸、形状、位置 运动学参数:例,位移、速度、加速度 动力学参数:例,力、力矩、应力 其它物理量:例,质量、转动惯量、频率、挠度 非物理量: 例,效率、寿命、成本,设计变量:优化设计问题有 n 个设计变量 x1,x2 ,xn, 用 xi (i = 1,2,n)表示,是设计向量 X 的 n个分量。 设计向量:用 X =x1, x2 , ,x nT 表示, 是定义在 n 维欧氏空间中的一个向量。,2.2 优化设计的三大要素,设计点: X(k)(x1(k), x2 (k), ,x n(k)): 是设计向量X(k)的端点,代表设计空间中
6、的一个点,也代表第 k 个设计方案。可能是可行方案、也可能不是可行方案。,设计空间 Rn : 以x1, x2 , ,xn 为坐标轴,构成 n 维欧氏实空间Rn。它包含了所有可能的设计点,即所有设计方案。,例:右图三维空间中 第1设计点:X(1) = x1(1),x2(1),x3(1)T 第2设计点:X(2) = x1(2),x2(2),x3(2)T 其中:X(2) = X(1) +X(1) 增量:X(1)=x1(1),x2(1),x3(1)T 即 x1(2) = x1(1) + x1(1) x2(2) = x2(1) + x2(1) x3(2) = x3(1) + x3(1),一.设计变量(续
7、),2.2 优化设计的三大要素,设计约束:设计变量值(设计点)的选择不仅要使目标函数达到最优值, 同时还会受一定的条件限制,这些制约条件称设计约束。,约束函数:设计约束是设计变量的函数,称为约束函数。,不等式约束函数: gu(x) 0 u = 1,2,m 等式约束数: hv(x) = 0 v = 1,2, pn,问题:是否每个设计约束中都必须包含 n个设计变量?m+p个约束呢? 不等式约束能否表达成 gu(x) 0 ? p 为什么必须小于 n ?,例:有三个不等式约束 g1(x) = - x1 0 g2(x) = - x2 0 g3(x) = x12 + x22 - 1 0,再加一个等式约束
8、h(x) = x1- x2 = 0,D,二.约束函数,2.2 优化设计的三大要素,约束(曲)面: 对于某一个不等式约束 gu(x) 0 中,满足 gu(x) = 0的 x 点的集合构成一个曲面,称为约束(曲)面。,它将设计空间分成两部分:满足约束条件 gu(x) 0 的部分和不满足约束条件 gu(x) 0 的部分。,设计可行域(简称为可行域) 对于一个优化问题,所有不等式约束的约束面将组成一个复合的约束曲面,包围了设计空间中满足所有不等式约束的区域,称为设计可行域 。,记作 D =,g u(x) 0 u = 1,2,m h v (x) = 0 v = 1,2, p,问题:等式约束与约束曲面是什
9、么关系?,D,二. 约束函数 (续1),2.2 优化设计的三大要素,可行设计点(内点): 在可行域内任意一点称为可行设计点,代表一个可行方案。,极限设计点(边界点): 在约束面上的点称为极限设计点。,若讨论的设计点 x(k)点使得 gu(x(k) ) = 0,则 gu(x(k)0 称为 适时约束或起作用约束。,非可行设计点(外点): 在可行域外的点称为非可行设计点,代表不可采用的设计方案。,二. 约束函数 (续2),问题: 极限设计点是否代表可行设计方案? 什么约束一定是适时约束? 可行域是否一定封闭?,2.2 优化设计的三大要素,目标函数: 优化设计的过程是从可行设计解中,找出一组最优解的过
10、程。需要一个准则来评价当前设计点(解)的最优性。 这个准则包含各个设计变量,作为评价函数,一般称为目标函数,也称为评价函数、准则函数、价值函数。,多目标函数: 由于评价准则的非唯一性,目标函数可以是一个单目标函数,也可以是多个称为多目标函数。,单目标函数的表达式为:f(x) = f(x1, x2 , ,xn ) 多目标函数的表达式为:f(x) = 1f1(x)+2f2(x)+qfq(x) =,其中: f1(x),f2(x), fq(x)代表 q 个分设计目标; 1,2, ,q 代表 q 个加权系数。,三. 目标函数,2.2 优化设计的三大要素,说明: f(x)必须是x的函数,应随设计点的变化f
11、(x)的值上升、下降; f(x)应该是实函数,是可计算的。但不一定通过数学公式,还可以用其它数值计算方法计算。 f(x)可以是有物理意义,有单位的,也可以没有物理意义。 例如,销轴的质量: Q =1/4d2l, 1/4是常数, 目标函数可简化为 f(x) = d2 l = x12x2,问题: f(x) 是否一定应包含所有的设计变量 ? f(x) 若是越大越好,则应如何处理? 分目标函数f1(x),f2(x), fq(x)中,有些是越小越好, 有些是越大越好,则又应如何处理?,三. 目标函数(续),2.3 优化设计的分类,一. 按模型性质分:,确定型优化问题:静态优化问题(与时间无关或忽略时间因
12、素) 动态优化问题(随时间变化,系统响应变化) 不确定型优化问题(随机优化问题),二. 按设计变量性质分,连续变量、 离散变量、 随机变量,三. 按约束情况分,1. 按有无约束分: 无约束优化问题 约束优化问题,2. 按约束性质分: 区域约束(几何约束、边界约束) 性能约束(功能约束、性态约束),2.3 优化设计的分类(续),四. 按目标函数和约束函数的特性分:,线性规划问题 非线性规划问题 几何规划问题:目标函数与约束函数为广义多项式 二次规划问题:目标函数为设计变量的二次函数,五. 按目标函数的个数分:,单目标优化问题 双目标优化问题 多目标优化问题,2.4 优化设计的数学基础,一. 等值
13、(线)面:,对于可计算的函数 f(x),给定一个设计点 X(k)(x1(k),x2(k), ,xn (k),f(x)总有一个定值c 与之对应;而当f(x)取定值 c 时,则有无限多个设计点X(i)(x1(i), x2(i), ,xn(i) ) (i=1,2, )与之对应,这些点集构成一个曲面,称为等值面。,当 c 取c1,c2, 等值时,就获得一族曲面族,称为等值面族。,当f(x)是二维时,获得一族等值线族; 当f(x)是三维时,获得一族等值面族; 当f(x)大于三维时,获得一族超等值面族。,2.4 优化设计的数学基础,等值线的“心” (以二维为例),一个“心”:是单峰函数的极(小)值点,是全
14、局极(小)值点。 没有“心”:例,线性函数的等值线是平行的,无“心”,认为极值点在无穷远处。,多个“心”:不是单峰函数,每个极(小)值点只是局部极(小)值点,必须通过比较各个极值点和“鞍点”(须正确判别)的值,才能确定极(小)值点。,一. 等值(线)面:,2.4 优化设计的数学基础,等值线的形状: 同心圆族、椭圆族,近似椭圆族;,等值线的疏密: 沿等值线密的方向,函数值变化快; 沿等值线疏的方向,函数值变化慢。 等值线的疏密定性反应函数值变化率。,严重非线性函数病态函数的等值线族是严重偏心和扭曲、分布疏密严重不一的曲线族。,一. 等值(线)面:,2.4 优化设计的数学基础,方向导数: 二维问题
15、中,f (x1,x2 ) 在 X(0) 点沿方向 s的方向导数为:,其中:,是 X(0)点的梯度。,S 为s方向的单位向量, 。,为 S 的方向角,方向导数,为方向余弦。,为梯度,在方向 s 上的投影。,二. 梯度,2.4 优化设计的数学基础,梯度的性质:, 梯度是 X(0)点处最大的方向导数; 梯度的方向是过点的等值线的法线方向; 梯度是X(0) 点处的局部性质; 梯度指向函数变化率最大的方向; 正梯度方向是函数值最速上升的方向, 负梯度方向是函数值最速下降的方向。,对于 n 维问题的梯度,二. 梯度,2.4 优化设计的数学基础,n 维函数 f(x) 在 x(k) 点的台劳展开式:,二阶近似
16、式:,其中:增量,梯度,Hesse 矩阵,三. Hesse 矩阵与正定,2.4 优化设计的数学基础,Hesse 矩阵的特性:是实对称矩阵。,矩阵正定的充要条件:,主子式 det(ait)0,当主子式 det(ait)0 时,矩阵半正定 det(ait)0时,矩阵负定 det(ait)0时,矩阵半负定,Hesse 矩阵的正定性:,H(x*)正定, 是 x* 为全局极小值点的充分条件; H(x*)半正定, 是 x* 为局部极小值点的充分条件; H(x*)负定, 是 x* 为全局极大值点的充分条件; H(x*)半负定, 是 x* 为局部极大值点的充分条件。,正定的二次函数:曲面为椭圆抛物面; 等值线族为椭圆曲线族,椭圆中心为极小值点。,三. Hesse 矩阵与正定,2.4 优化设计的数学基础,凸