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1、第二章,函数、导数及其应用,第一讲函数及其表示,1知识梳理 双基自测,2考点突破 互动探究,3名师讲坛 素养提升,知识梳理 双基自测,知识点一函数的概念及表示 1函数与映射的概念,非空数集,非空集合,任意,唯一,任意,唯一,f：AB,f：AB,2.函数 (1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射 (2)函数的三要素：_. (3)函数的表示法：_. (4)两个函数只有当_都分别相同时，这两个函数才相同 知识点二分段函数及应用 在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数,定义域、值域、对应法则,解析法、图
2、象法、列表法,定义域和对应法则,1映射：(1)映射是函数的推广，函数是特殊的映射，A，B为非空数集的映射就是函数； (2)映射的两个特征： 第一，在A中取元素的任意性； 第二，在B中对应元素的唯一性； (3)映射问题允许多对一，但不允许一对多 2判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致 3分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数 4与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点,ABC,题组二走进教材 2(必修P23T2改编)下列所给图象是函数图象的个数为() A1B2 C3D4 解析中当x0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，中当xx0时，y的值有两
3、个，因此不是函数图象，中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象,B,D,4(必修1P25BT1改编)函数yf(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是_；值域是_；其中只与x的一个值对应的y值的范围是_.,3,02,3,1,5,1,2)(4,5,1,7,C,考点突破 互动探究,考点一函数的概念及表示 考向1函数与映射的概念自主练透,例 1,BC,解析(1)是映射，也是函数； 不是映射，更不是函数，因为从A到B的对应为“一对多”； 当x0时，与其对应的y值不存在故不是映射，更不是函数； 是映射，但不是函数，因为集合A不是数集 (2)A图象不满足函数的定义域，不正确；B、C满足函数的定义域以
4、及函数的值域，正确；D不满足函数的定义，故选B、C (3)中f1的定义域为x|x0，f2的定义域为R，f3的定义域为x|x0，故不是同一函数； 中f1的定义域为R，f2的定义域为x|x0，f3的定义域为x|x0，故不是同一函数； 中f1，f2，f3的定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数,答案(1)是映射，也是函数 不是映射，更不是函数 不是映射，更不是函数 是映射，但不是函数 (3)不同函数；同一函数,1.映射与函数的含义 (1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓 (2)函数是特殊的映射：当映射f：AB中的
5、A，B为非空数集时，且每个象都有原象，即称为函数 2判断两个函数是否相同的方法 (1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同 (2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数,例 2,考向2求函数的解析式师生共研,变式训练1 (1)已知f(cosx)sin2x，则f(x)_. (2)已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，则f(x)_. (3)定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x)若当0 x1时，f(x)x(1x)，则当1x0时，f(x)_. 解析(1)(换元法)设cosxt，t1,1， f(cosx)sin2x1cos2x， f(t
6、)1t2，t1,1 即f(x)1x2，x1,1,1x2，x1,1,考点二分段函数及应用多维探究 角度1分段函数求值问题,例 3,A,例 4,角度2分段函数与方程的交汇问题,角度3分段函数与不等式的交汇问题,例 5,D,解析画出函数f(x)的图象如图所示，由图可知： 当x10且2x0，即x0时，f(2x)f(x1)，不满足题意； 当x10且2x2x，解得x1.故x1. 综上所述，x的取值范围为(，0).,分段函数问题的求解策略 (1)分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解 (2)分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类
7、讨论，最后应注意检验所求参数值(范围)是否适合相应的分段区间,A,C,名师讲坛 素养提升,数学抽象函数新定义问题中的核心素养,例 6,解析由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数，即f(y)f(x)故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件 中函数的值域为0，)，值域不关于原点对称，故不符合题意；中函数的值域为(，0)(0，)，值域关于原点对称，故符合题意；中函数的值域为(，)，值域关于原点对称，故符合题意；中函数的值域为R，值域关于原点对称，故符合题意；中函数f(x)2sinx1的值域为3,1，不关于原点对称，故不符合题意.,以学习过的函数相关知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题,D,
