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1、漫谈数学的基本思想,东北师范大学数学与统计学院 史宁中,一、数学的基本思想是什么 二、统计学与数学的不同,一、数学的基本思想是什么 1. 问题的提出 2005年，接受教育部的委托修改数学课程标准 开始思考 基础教育的数学应当教些什么？教育价值是什么？ 我国基础教育的特征是： 基础知识（概念记忆与命题理解）扎实； 基本技能（证明技能与运算技能）熟练。 足够了吗？ 学习过数学的人应当具备的基本特征是什么？,成功的前提、创新的前提：知识、机遇、思维 思维方法依赖的是个人的感悟，教育应当为这个感悟创造条件 不仅要记住一些数学的知识、掌握一些数学的技能 要让学生感悟数学的思想，积累思维的经验和实践的经验
2、 应当培养学生的数学素养： 用数学的眼睛看、用数学的表达说、用数学的逻辑想 基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验,基本活动经验：所有学科都应当把培养学科直观作为教学目标 直观是重要的：数学的结果是看出来的、不是证出来的 直观是经验的：思维的经验、实践的经验，只可意会不可言传 智慧是过程的：只能通过过程的教育（传授知识是结果的教育） 依赖的是本人参与其中的活动 依赖的是本人在活动中的悟性 悟的思维基础：数学的基本思想 数学教育的价值体现于数学的基本思想 数学文化的核心体现于数学的基本思想 数学的基本思想是什么？ 等量替换、数形结合、递归、配方法、换元法？,2. 数学的基本思想 数学基本
3、思想的两个准则 数学的产生与发展所依赖的那些思想 学习过数学的人的基本思维特征 数学基本思想是： 抽象：把与数学有关的知识引入数学内部 学习数学的人抽象能力强 推理：促进数学内部的发展 学习数学的人推理能力强 模型：沟通数学与外部世界的桥梁 学习数学的人善于构建模型,关于抽象 亚里士多德： 数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中那些 感性的东西（颜色、温度）。对于数学而言，线、角、 或者其他的量的定义，不是作为存在而是作为关系。 数学抽象包括：数量与数量关系、图形与图形关系。 通过抽象得到：研究对象的概念、研究对象的关系； 运算方法和运算法则、度量方法。 抽象分两个层次：直观描述，符号表
4、达。,数量第一层次的抽象：具有物理背景、采用对应的方法 什么是数： 数量 数。2匹马、2头牛 2。 2， 3 数量的本质多与少 数的本质大与小 3个比2个多 3比2大 什么是加法： ，所以 3 + 1 = 4 ？ 哪边的小方块多？ 哪边的小方块多？ 所以 3 + 1 = 4 等号是指两边的量相等。方程的意义：两个故事。,自然数集合 （减法：加法的逆运算） 整数集合 （除法：乘法的逆运算） 有理数集合 分数（部分与整体；线段长度之比） 无理数集合 不能写成分数形式的数 实数集合 有理数 + 无理数（小数的出现） 为了解释微积分，需要实数的连续性（实数与数轴一一对应？） 可以理解 1/n 0，如何
5、理解 x 0 ? 需要无理数的运算 23 =23 ？,数量第二层次的抽象：没有现实背景，采用符号的方法 极限运算：柯西(1821) 从柯西开始，现代数学走向了符号化、形式化、公理化 1872年康托用基本序列的方法重新定义了实数 柯西基本序列：满足柯西准则的有理数列 an a, bn b 则根据极限的性质有 an2 a, bn2 b，an2bn2 ab 则an2bn2 (anbn)2 确定实数ab 所以 anbn 确定实数ab，即 ab = ab,1872年戴德金用分割的方法重新定义了实数 戴德金对有理数分割定义实数，解决了实数的连续性 1889年皮亚诺用公理体系重新定义了自然数 后续数的方法：
6、从1开始，后续为2=1+1；加法1+1=2。 算术公理化系统：九个公理。 为证明 43，需要两个公理。 第7公理：a = b则a+1 = b+1。 第8公理：a+11。 如果 4=3 3=2 2=1，与公理8矛盾。 1908年策梅罗构建了集合公理化体系 九个公理。ZF公理体系(弗兰克尔集合论基础),图形第一层次的抽象：具有物理背景、采用描述的方法 欧几里得 概念：点是没有部分的。线只有长度没有宽度。 面只有长度和宽度。 平行公理：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某 一侧的两个内角的和小于两个直角，则这两条直 线经无限延长后在这一侧相交。 引发很多的问题 点线：两条直线交于一点？ 平行：
7、两条永远不相交的直线？ 全等：两个图形重合？,图形第一层次的抽象：具有物理背景、采用白描的方法 欧几里得 概念：点是没有部分的。线只有长度没有宽度。 面只有长度和宽度。 平行公理：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某 一侧的两个内角的和小于两个直角，则这两条直 线经无限延长后在这一侧相交。 带来很多的问题 点线：两条直线交于一点？ 平行：两条永远不相交的直线？ 全等：两个图形重合？,修改平行线公理： 过直线外一点有一条平行线：欧几里得几何 无数平行线：罗巴切夫斯基几何 没有平行线：黎曼几何 三角形内角和 高斯曲率在三角形上的积分 = 三个角的和 曲率：欧式几何=0；罗氏几何0；黎曼几何0
8、。 都有物理背景。 公理 假设,修改平行线公理： 过直线外一点有一条平行线：欧几里得几何 无数平行线：罗巴切夫斯基几何 没有平行线：黎曼几何 三角形内角和 高斯曲率在三角形上的积分 = 三个角的和 曲率：欧式几何=0；罗氏几何0；黎曼几何0。 都有物理背景。 公理 假设,修改平行线公理： 过直线外一点有一条平行线：欧几里得几何 无数平行线：罗巴切夫斯基几何 没有平行线：黎曼几何 三角形内角和 高斯曲率在三角形上的积分 = 三个角的和 曲率：欧式几何=0；罗氏几何0；黎曼几何0。 都有物理背景。 公理 假设,图形第二层次的抽象：没有现实背景，采用符号的方法 希尔伯特：桌子、椅子、啤酒杯 设想有三
9、组不同的对象： 第一组的对象叫做点，用A，B，C， 表示； 第二组的对象叫做直线，用a，b，c， 表示； 第三组的对象叫做平面，用， 表示。 关联公理：两点唯一决定一条直线、三点唯一决定一个平面 顺序公理：直线上一个点在两个点之间、直线通过三角形两个边 合同公理：线段相等、角相等、三角形边角边全等 平行公理：过直线外一点有且仅有一条直线与这条直线平行 连续公理：阿基米德公理、完备性公理（庞加莱）,集合定义的符号化 研究对象的全体 可分辨的、研究对象的全体 具有某种特性的、研究对象的全体 1918年罗素给出悖论： 图书分两类：记入目录的和没有记入目录的，那么图书目录属于哪一类呢？ 一个乡村理发师
10、说，他不给村里自己刮脸的人刮脸，但给所有不自己刮脸的人刮脸。后来他遇到了尴尬，他是否应当给自己刮脸呢？如果他给自己刮脸，那么按照他说的前一半，就不应当给自己刮脸；如果他不给自己刮脸，那么按照他说的后一半，就应当给自己刮脸。理发师陷入了逻辑两难的困境。,符号化定义（Z-F公理体系） 用大写字母A，B，C表示集合；用小写字母a，b，c表示元素；用表示属于关系。如果元素a属于集合A，则表示为aA。 集合由元素唯一确定： 1. 外延公理。对于两个集合A和B，如果A中的任一元素都是B中的元素，B中的任一元素都是A中的元素，则这两个集合是同一集合，记为：AB。 避免关于特性的反例： 9. 正则公理。对于任
11、意集合A，A不属于A。,第一次抽象的功能：发现新的知识、建立概念； 第二次抽象的功能：表达新的知识、建立符号。 现代数学的论述是基于第二次抽象的，现代数学的教学： 科学形态的知识 教育形态的知识 数学的表达是符号的，但教学应当是物理的； 数学的证明是形式的，但教学应当是直观的； 数学的体系是公理的，但教学应当是归纳的。 教学需要反其道而行之 抽象到具体：举例说明、Lebesgue测度 一般到特殊：高维空间到低维空间、距离 是教学改革的一个难点，也是为广大教师提供了一个舞台。,关于推理 三种思维形式：形象思维、逻辑思维、辨证思维 自然科学：逻辑思维 + 形象思维（联想、想象） 社会科学：辨证思维
12、 + 逻辑思维（概念、模型） 人文学科：形象思维 + 逻辑思维（推理、构造） 数学推理：逻辑思维 + 形象思维 命题：可以进行是否判断的话语（正命题、否命题） 。 性质（系词结构）与关系（条件结论）。 判断 + 命题：正正、正否、否正、否否 推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程。 数学推理是有逻辑的推理。,有逻辑的推理：命题之间具有传递性。 凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。 无逻辑的推理：命题之间没有传递性。 苹果是酸的，酸是一种味道。所以苹果是一种味道。 两种形式的逻辑推理：演绎推理、归纳推理 演绎推理：命题范围由大到小，得到结果是必然成立的。 功能：验证结论。 归纳推理
13、：命题范围由小到大，得到结果是或然成立的。 功能：发现结论。,演绎推理 来源于古希腊：定义是名还是实？（公孙龙子、指物论） 无限是名还是实？（现代数学的核心） 苏格拉底 柏拉图 亚里士多德 （欧几里得） 亚里士多德强调：论证起点和论证方法 论证起点：公理、公设 论证方法：三段论（大前提、小前提、结论） 凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。 数学归纳法、反证法、算法逻辑 逻辑起点：同一律、矛盾律、排中律,我们的教育重视演绎推理 演绎推理的功能主要是验证结论，而不是发现结论。 因为论证逻辑是：大命题到小命题 论证形式是：已知 A 求证 B A 和 B 都是确定的命题。 还缺少什么？ 根据情
14、况“预测结果”的能力； 根据结果“探究成因”的能力。 归纳推理,归纳推理 通过经验过的东西推断没有经验的东西 从小范围满足推断大范围满足包括 归纳法、类比、实验数据、试验数据、调查数据 归纳法：代数（哥德巴赫猜想、平方和公式） 类比法：几何（庞加莱猜想) 归纳推理就是“看出”结果，这是创新的根本。在我国，过去的教育缺少这种能力的培养。因此，这种能力的培养将是我国未来教育教学改革的难点和重点。,归纳推理 通过经验过的东西推断没有经验的东西 从小范围满足推断大范围满足包括 归纳法、类比、实验数据、试验数据、调查数据 归纳法：代数（哥德巴赫猜想、平方和公式） 类比法：几何（庞加莱猜想) 归纳推理就是
15、“看出”结果，这是创新的根本。在我国，过去的教育缺少这种能力的培养。因此，这种能力的培养将是我国未来教育教学改革的难点和重点。,二、统计学与数学的不同 数学 统计 起点 定义、假设 数据（实验、调查） 论证 演绎推理 归纳推理 判断 对错 好坏,二、统计学与数学的不同 数学 统计 起点 定义、假设 数据（实验、调查） 论证 演绎推理 归纳推理 判断 对错 好坏,二、统计学与数学的不同 数学 统计 起点 定义、假设 数据（实验、调查） 论证 演绎推理 归纳推理 判断 对错 好坏,二、统计学与数学的不同 数学 统计 起点 定义、假设 数据（实验、调查） 论证 演绎推理 归纳推理 判断 对错 好坏,三种度量空间 测度空间 ：（A，(A)，) B(A)是集合，(B)：集合B的大小 概率空间 ：（A，(A)，P
