矢量分析与场论讲义课件

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1、1 场的概念（Field）,一、场的概念,场是用空间位置函数来表征的。若对全空间或其中,某一区域 V 中每一点 M, 都有一 个数量 (或矢量) 与,之对应, 则称在 V 上确定了一个 数量场 (或矢量场).,场都是矢量场。,例如: 温度场和密度场都是数量场, 重力场和速度,若场中物理量在各点处的对应值不随时间变化，,就称为稳定场，否则，称为不稳定场。,注,引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来,进行计算和研究它的性质.,2.场的性质是它本身的属性, 和坐标系的引进无关.,场的特点：分布于整个空间，看不见，摸不着，只能借助仪器 进行观察测量，靠人脑去想像其分布情况； 具有客观物质的一切特

2、征，有质量、动量和能量。,3、描述方法,函数表示法：借助一定坐标系下的函数来表示场的分布。对矢量场，用 ；数量场常用 表述。,几何表示法，也叫图示法：用能反映场性质和分布的一族曲线或曲面表示场的分布特征，分别称为矢量线（像电力线、磁力线）；等值面（像等温面，等位面）。,二、数量场、矢量场的描述方法,以下讨论中总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数。,因此给定了某个数量场就等于给定了一个数性函数,在引进了直角坐标系后, 点 M 的位置可由坐标确定。,同理,每个矢量场都与某个矢性函数,并假定它们有一阶连续偏导数。,数量场的等值面（线）： 是由场中使u取相同数值的点所组成的曲面。,等值线,在某一高度上

3、沿什么方向高度变化最快？,直观表示数量u在场中的分布。,以温度场为例：,热源,等温面,等值面举例,可以看出：数量场的函数是单值函数，各等值面是互不相交的。,矢量场的矢量线： 矢量线上每一点处曲线与对应于该点的矢量相切。,直观描述矢量在场中的分布情况。,2. 矢量线连续分布，一般互不相交。,图2 矢量线,l,观察： 1.在曲线上的每一点M处， 场的矢量都位于该点处的切线上（如图所示），称其为矢量线。例：静电场电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线等。,矢量线的微分方程： M点位置,矢量线l 微分,场矢量,l,矢量线在这点的切线的方向余弦和矢量线上的 成比例，从而得到矢量线应满足的微分方程,在场矢量

4、 不为零的条件下，由线性微分方程组的理论可知所考虑的整个场被矢量线所填满，而通过场中每一点有一条且只有一条这样的曲线，且过不同的点的两条矢量线没有公共点。,例2 求矢量场,的矢量线方程。,【例1】 设点电荷q位于坐标原点，它在空间一点M(x,y,z)处所产生的电场强度矢量为 式中，q、均为常数， r=xi+yj+zk为M点的位置矢量。求E的矢量线方程并画出矢量线图。,解题过程：,图 点电荷的电场矢量线 (P27),2、方向导数 方向导数是数性函数 在一点处沿任意方向 对距离的变化率，它的数值与所取 的方向有关， 一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但 它并不是矢量。如图所示， 为场中的任意

5、方向，M0是这个方向线上给定的一点，M为同一线上邻近的一点。,为M0和M之间的距离，从M0沿 到M的增量为 若下列极限 存在，则该极限值记作 ，称之为数量场 在M0处沿 的方向导数。,例题,例1 求函数,方向的方向导数。,例3 设,例4 求数量场,方向的方向导数。,3、梯度 由于从一点出发，有无穷多个方向，即数量场,沿某一确定方向取得 在该点的最大方向导数， 则可引进梯度概念。,在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过一点,梯度：（场在某点的梯度为一矢量）它的大小等于所有方向导数的最大值，它的方向为取得最大值的方向。,梯度(Gradient),当 ,即 与,方向一致时, 为最大。,方向导数与梯

6、度的关系： 是等值面 上p1点法线方向单位矢量。它指向 增长的方向。 表示过p2 点的任一方向。 易见，,所以 即,该式表明： 即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投影。 梯度的概念重要性在于，它用来表征数量场 在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。 4、 算符（哈密顿算符） 算符既具有微分性质又具有方向性质。在任意方向 上移动线元距离dl， 的增量 称为方向微,分，即 显然，任意两点 值差为,总结：数量场梯度的性质,（1）数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在该方向的投影。 （2）数量场在任一点的梯度垂直于过该点的等值面，且指向场增大的一方。（注意：等值面的法向有两个） （3）一个数量场的

7、梯度（一旦）确定，则该数量场也随之确定，最多相差一个任意常数,标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）,数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在该方向的投影。,例1 三维高度场的梯度,图 三维高度场的梯度,例2 电位场的梯度,图 电位场的梯度,高度场的梯度,与过该点的等位线垂直；,数值等于该点的最大方向导数；,3 矢量场的通量与散度,1、通量 一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场 方向通过 的流量是dQ，而dQ是以ds为底，以v cos为高的斜柱体的体积，即 称为矢量 通过面元 的通量。 对于有向曲面s，总可以 将s分成许多足够小的面元 ， 于是,通过曲面s的通量f即为每一面元通量之和

8、 对于闭合曲面s，通量f为,向量场 沿选定方向的曲面S的面积分,定义,称为 向曲面指定一侧穿过曲面S的通量。,例题,例1 设由矢径,圆锥面,曲面S。,P55 3. 求矢量场,所围成的封闭,有一由,如果曲面s是闭合的，并规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：,（）,（）,（）,表示有净的矢量线流入，闭合面内有吸收矢量线的负源；,表示有净的矢量线流出，闭合面内有产生矢量线的正源；,表示流入和流出闭合曲面的矢量线相等或没有矢量线流入、流出闭合曲面,闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭 合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系,若S 为闭合曲面，可根据净通量 的大小判断闭合面中

9、源的性质:, 0 (有正源), 0 (有负源), = 0 (无源),2、散度 设封闭曲面s所包围的体积为 ，则,就是矢量场 在 中单位体积的平均通量，或者 平均发散量。当闭合曲面s及其所包围的体积 向 其内某点 收缩时，若平均发散量的极限值存在， 便记作,称为矢量场 在该点的散度(div是divergence的缩写)。,散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当div ，表示该点有散发通量,的正源；当div ，表示该点有吸收通量的负源； 当div ，表示该点为无源场。,的散度为,定理,重 点,散度(Divergence)的表达式,直接从散度的定义出发，不难得到矢量场 在空间任意

10、闭合曲面的通量等于该闭合曲 面所包含体积中矢量场散度的积分。 上式称为矢量场的Gauss定理。,积分的Gauss定理,注：它能把一个闭合曲面的面积分转为对 该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。,推论2 若处处散度为0，则通量为0. 推论3 若某些点（或区域）上有散度不为0或不存 在，而在其他点上都有散度为0，则穿出包围这些点（或区域）的任一封闭曲面的通量都相等，为一常数。 电学上的高斯定理： 穿出任一封闭曲面S的电通量，等于其内各点电荷的代数和。 高斯定理,4 矢量场的环量及旋度(Rotation),1. 矢量场的环量,定义：线矢量l: 矢量场A中的 一条封闭的有向曲线 环量：（图2） 性质：

11、 是标量 0，l 内有旋涡源 =0，l 内无旋涡源,图2 矢量场的环量(P56),定义,线积分,向量场 沿空间有向闭曲线 l 的,称为 沿闭曲线l的环量。,环量的表达式,图3 闭合曲线方向与面元的 方向示意图 (P59),定义：若 存在，则 称此极限为矢量场 A沿l之正向的环量 在点P处沿n方向的 环量面密度。,性质：l围成的面元法矢量 旋涡面的方向 矢量R 在任意面元方向上的投影就给出该方向的环量面密度 方向为环量面密度最大的方向；模为最大环量面密度的值 旋度的定义 定义：固定矢量R为矢量A的旋度，记作 ：rot A=R,R,图4 旋度及其投影,旋度矢量R在n方向的投影:,涡量（或环量面密度

12、）,旋度,矢量场在某点的旋度，其大小为该点涡量的最大值，方向为使得该点涡量取最大值的方向,物理意义：是场在矢量方向上旋转性的强弱,旋度(Rotation or Curl),简单地说,旋度是个矢量，它的物理意义 是场在该矢量方向上旋转性的强弱。,利用环量与旋度(它可以从整体上描述场旋,转的强度)，我们可以用向量的形式重写,Stokes公式。,小结,1、散度（流出的量） 发散源 通量即该矢量(的垂直平面分量)穿过平面的大小 一般点的散度为0 ，散度不为0的点表示该点有提供源 (source) 散度是标量，物理意义为通量源密度，可以从Gauss公式理解 散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是

13、有源场（有正源或负源）,矢量场,2、旋度（没有流出的量） 旋涡源 旋度即该矢量(的平行平面分量)沿平面的大小密度(即大小/面积) 旋度不为0表示有量在该平面“逗留” 旋度是矢量；其物理意义为环量密度，可以从Stokes公式里理解 旋度为零，说明是无旋场；旋度不为零时，则说明是有旋场,一、无旋场,5 几种重要的矢量场,无旋场,有势场,保守场,空心球体,环面体,二、无源场,矢量管：矢量线构成的管形曲线（矢量线与曲面重合）,矢量场的Helmholtz定理 空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无源矢量场的叠加，即：,三、管形场

14、与有势场,式知道, 此时沿任何封闭,曲面的曲面积分都等于零.,中作一矢量管 (图2), 即由矢量线围成的管状的,若一个矢量场 的散度恒,为零, 即 我们曾,称 为无源场. 从高斯公,我们又把 称作管形场. 这是因为, 若在矢量场,S. 于是由(1)式得出,这等式说明了流体通过矢量管的任意断面的流量是,间单连通区域内沿任何封闭曲线的曲线积分都等于,相同的, 所以把场 称为管形场.,若一个矢量场 的旋度恒为零, 即 我们在,前面称 为无旋场. 从斯托克斯公式知道, 这时在空,由定理1推得空间曲线积分与路线无关, 且存在,即,个矢量场是某个数量场的梯度场的充要条件.,通常称v= -u 为势函数. 因

15、此若某矢量场 的旋度为零,若一个矢量场既是管量场, 又是有势场, 则称这个矢,量场为调和场.,若 是一个调和场, 则必有,即必有u 满足,这时称函数 u 为调和函数.也有v= -u 为调和函数。,显然,(1)若线积分 的值在G内与路径无关，,其中A, B 为G 内任意两点；,则称 为保守场,(2)若在G内恒有 ,则称 为,无旋场;,有势场，并称 为 的势函数.,定义6,设向量场,(3)若存在G上的函数 ，使 ,则称 为,定理4,设G 是单连域，,则以下四个命题等价：,是无旋场，即,沿G内任意简单闭曲线 C 的环量,与路径无关；,是一保守场，即在G内线积分,是一有势场，即在G内存在 ，,作证明.

16、它可以看作是 Green 公式的推论.,以下我们只对定理4的2D空间的情况定理,定理,设区域,则以下四个命题等价：,在 内,处处成立,定理4(及定理 )的重要性在于：,给出场论中的一个具有实际意义及数学意 义的重要结论，即：,无旋场,有势场,保守场,给出了数学上判定保守场的多种方法；,特别还给出了求势函数的方法：相当于,求某些二元函数的原函数的方法，同时,为解全微分方程提供了一种有效的方法。,例1,验证矢量场,是有势场，并求其势函数.,解,因,所以， 为有势场。,以下介绍两种求势函数方法。,在积分与路径无关条件下，选择,特殊路径，用线积分求势函数法.,方法1,例4,验证向量场,是有势场，并求其势函数.,解,因,所以， 为有势场。,以下介绍两种求势函数方法