《2018广东广州市天河外国语学校高考数学一轮复习专项检测试题： 28》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018广东广州市天河外国语学校高考数学一轮复习专项检测试题： 28（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 - 函数的奇偶性、周期性和对称性函数的奇偶性、周期性和对称性 一、奇偶性 1、奇函数的定义：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么 ( )f xx )()(xfxf 函数就叫做奇函数。 ( )f x （1）定义域必须关于原点对称； （2）对定义中的任意一个，都有； x )()(xfxf （3）图象特征：奇函数图象关于原点对称。 （这是判断奇函数的直观方法） 2、偶函数定义：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数 ( )f xx )()(xfxf 就叫做偶函数。 ( )f x （1）定义域必须关于原点对称； （2）对定义中的任意一个，都有； x )()(xfx
2、f （3）图象特征：偶函数图象关于轴对称。 （这是判断偶函数的直观方法） y 二、周期性 周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，( )f xxT()( )f xTf x 则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有( )f xT( )f xkT,0kZ k( )f x 周期中的最小正数叫的最小正周期，并不是所有周期函数都存在最小正周期。例如，狄利克雷函数，( )f x 当为有理数时，取 1；当为非有理数时，取 0。 x( )f xx( )f x （1）如果函数满足且， （和是不相等的常 )(xfy )()( 11 xTfxTf)()( 22 xTfxT
3、f 1 T 2 T 数） ，则是以为为周期的周期函数。 )(xfy )(2 12 TT （2）如果奇函数满足（） ，则函数是以为周期的 )(xfy )()(xTfxTf 0T )(xfy T4 周期函数。 - 2 - （3）如果偶函数满足（） ，则函数是以为周期的 )(xfy )()(xTfxTf 0T )(xfy T2 周期函数。 三、对称性 1、函数图象本身的对称性（自身对称） 题设：函数对定义域内一切来说，其中为常数，函数满足： )(xfy xa)(xfy （1）函数图象关于直线成轴对称； )()(xafxaf)(xfy ax （2）函数的图象关于直线成轴对称； )()2(xfxaf)(
4、xfy ax （3）函数图象关于直线成轴对称； )()(xbfxaf)(xfy 22 )()(baxbxa x （4）函数图象关于轴对称（偶函数） ； )( xf )(xf)(xfy y （5）函数图象关于成中心对称； )(2)2(xfbxaf)(xfy ),(ba （6）函数图象关于原点成中心对称（奇函数） ； )( xf )(xf)(xfy （7）如果函数满足且， （和是不相等的 )(xfy )()( 11 xTfxTf)()( 22 xTfxTf 1 T 2 T 常数） ，则是以为为周期的周期函数； )(xfy )(2 12 TT - 3 - （8）如果奇函数满足（） ，则函数是以为周期
5、 )(xfy )()(xTfxTf0T)(xfy T4 的周期函数； （9）如果偶函数满足（） ，则函数是以为周期 )(xfy )()(xTfxTf0T)(xfy T2 的周期函数。 2、两个函数的图象对称性（相互对称） （利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） （1）曲线与关于轴对称。 )(xfy )(xfyx （2）曲线与关于轴对称。 )(xfy )( xfyy （3）曲线与的图象关于原点对称； )( xfy)(xfy （4）曲线与的图象关于直线对称。 )(yfx )(xfy xy （5）曲线与关于直线对称。 )(xfy )2(xafyax （6）曲线关于直线对称曲线为。 0),(yxfb
6、x 0)2 ,( ybxf （7）曲线关于直线对称曲线为。 0),(yxf0cyx0),(cxcyf （8）曲线关于直线对称曲线为。 0),(yxf0cyx0),(cxcyf （9）曲线关于点对称曲线为。 0),(yxf),(baP0)2 ,2(ybxaf 注意：设，都有且有个实根，则所有实根)(xfy Rx)2()(xafxf0)(xfk)2( k 之和为。 ka 例 1：已知满足，当时 )(xf)2()2(xfxf)4()4(xfxf26x 且，若，求大cbxxxf 2 )(13)4(f) 3 (bfm ) 2 (cfn )11(fp pnm、 小关系？ 解：由已知得，对称轴，也为一条对称
7、轴 4T 4x4x ， 8b3c(8/3)mf(3/ 2)nf)3()11(ffp pmn - 4 - 例 2：若函数，有，求。 3 )()(axxf Rx )1 ()1 (xfxf)2()2( ff 解：，知的图象关于对称，而的对称中心 Rx )1 ()1 (xfxf)(xf)0 , 1 ( 3 )()(axxf ， ，则。 )0 ,( aP 1a 3 ) 1()( xxf26)3(1)2()2( 3 ff 例 3：设是定义在上的函数，均有，当时， )(xf RRx 0)2()(xfxf 11x ，求当时，的解析式。 12)(xxf 31 x )(xf 解：由有得 Rx )2()(xfxf 4T 设，则，； 3 , 1 (x 1 , 1()2(x)()2()42()2(xfxfxfxf ，当时，。 52 1)2(2)2()(xxxfxf 31 x 52)(xxf - 5 -
