《2017-2018学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1.1 综合法 新人教A版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1.1 综合法 新人教A版选修2-2（62页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2直接证明与间接证明 2.2.1综合法和分析法 第1课时综合法,主题综合法 1.观察下面不等式的证明过程,思考此证明过程是从什么方面入手证明结论成立的? 在锐角三角形ABC中,求证: sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.,【证明】因为ABC为锐角三角形, 所以A+B 所以A -B. 因为y=sinx在 上是增函数,所以sinAsin =cosB. 同理可得sinBcosC,sinCcosA, 所以sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.,提示:是从函数y=sinx在 上是增函数这一性质入手证明结论成立的.,2.问题1中的证明过程是否为“顺推法”? 提
2、示:证明过程是从已知入手,借助不等式的性质和三角函数的单调性得出结论的,所以是“顺推法”.,结论: 1.综合法的定义 一般地,利用_和某些数学定义、公理、定理等, 经过一系列的_,最后推导出所要证明的_成 立,这种证明方法叫做综合法.,已知条件,推理论证,结论,2.综合法的流程 其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表 示所要证明的_,Q1,Q2,Qn表示中间结论.,结论,【微思考】 1.综合法又叫由因导果法,其推理过程是合情推理还是演绎推理? 提示:因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理,因此所得到的每一个结论都是正确的,不同于合情推理中的“猜想”,所以综合法是演绎推理.,2.综
3、合法逻辑推理的依据是什么? 提示:综合法逻辑推理的依据是演绎推理中的三段论.,【预习自测】 1.设a0,b0,A= ,B= ,则A,B的大小关系为() A.ABB.AB C.ABD.AB,【解析】选C.因为A2=a+2 +b,a0,b0,B2=a+b, 所以A2B2,即AB.,2.设x0,y0,且x+y=6,则lgx+lgy的取值范围是 () A.(-,lg6B.(-,2lg3 C.lg6,+)D.2lg3,+) 【解析】选B.因为x0,y0,x+y=6,所以2 6,即0xy9,所以lg(xy)lg9,即lgx+lgy2lg3.,3.若实数a,b满足0ab,且a+b=1,则下列四个数中最大的是
4、() A. B.2abC.a2+b2D.a,【解析】选C.因为a+b=1,a+b 所以2ab 又因为0ab,且a+b=1,所以a ,所以a2+b2最大.,4.在ABC中,若ab,则比较大小:sinA_ sinB(填“”“b,所以sinAsinB.,答案:,5.设x0,y0, 则A与B的大小关系为A_B(填“”“=”或“A.,答案:,类型一综合法证明不等式 【典例1】已知a,b,c为互不相等的实数,求证: a4+b4+c4abc(a+b+c). 【解题指南】从已知不等式a2+b22ab出发,一步步由因到果直至推出要证的结论.,【证明】因为a4+b42a2b2,b4+c42b2c2,c4+a42a
5、2c2,又a,b,c互不相等. 所以上面三式中至少有一个式子不能取“=”, 所以a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2.,因为a2+b22ab,所以a2c2+b2c22abc2. 同理a2b2+a2c22a2bc,b2c2+b2a22ab2c, 所以a2b2+b2c2+c2a2abc2+a2bc+ab2c. 由,得a4+b4+c4abc(a+b+c).,【方法总结】综合法证明不等式的主要依据 (1)a20(aR). (2)(a-b)20(a,bR),其变形有a2+b22ab, ab,a2+b2 (3)若a,b(0,+),则 特别地,(4)a2+b2+c2ab+bc+ca(a,b,cR).
6、 由基本不等式a2+b22ab,易得a2+b2+c2ab+bc+ca,而此结论是一个很重要的不等式,许多不等式的证明都可以用该结论.,(5)a+b+c,a2+b2+c2,ab+bc+ca这三个式子之间的关系由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)给出,三个式子中知道两个式子,第三个式子可以由该等式用另外两个式子表示出来.,【拓展延伸】证明不等式的注意点 在用综合法证明不等式时,常利用不等式的基本性质,如同向不等式相加,同向不等式相乘等,但在运用这些性质时,一定要注意这些性质成立的前提条件.,【巩固训练】已知x0,y0,x+y=1,求证 【证明】方法一:因为1=x+y, 所以
7、 又因为x0,y0,所以 所以 5+22=9.,方法二:因为x0,y0,x+y=1, 所以令x=cos2,y=sin2,则 =5+2 5+22=9.,【补偿训练】已知a0,b0,且a+b=1,求证: 9. 【证明】因为a0,b0,a+b=1, 所以 当且仅当 即a=2b时“=”成立.,类型二综合法证明数列问题 【典例2】(1)(2017温州高二检测)已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成一个首项为 的等比数列,则|m-n|=_.,(2)设数列an的前n项和为Sn,满足(3-m)Sn+2man= m+3(nN*).其中m为常数,且m-3,m0. 求证:an是等比数列; 若数
8、列an的公比q=f(m),数列bn满足b1=a1,bn= f(bn-1)(nN*,n2),求证: 为等差数列.,【解题指南】(1)利用根与系数的关系结合等比数列的性质可求m,n. (2)中关键是利用an+1与Sn和Sn+1之间的关系结合等比数列的定义;中利用定义说明,即 =常数(n2).,【解析】(1)方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0,等价于x2-mx+2=0或x2-nx+2=0.设方程两根分别为x1,x4,方程两根分别为x2,x3.则x1x4=2,x1+x4=m,x2x3= 2,x2+x3=n.因为方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成一个首项为 的等比数列.所
9、以x1,x2,x3,x4分别,为此数列的前四项且x1= ,x4= =4,公比为2,所以x2=1,x3=2,所以m=x1+x4= +4= ,n=x2+x3=1+2=3, 故|m-n|=,答案:,(2)由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,两式相减得(3+m)an+1=2man, 因为m为常数,m0且m-3, 所以 所以an是等比数列.,因为b1=a1=1,q=f(m)= 所以当nN*且n2时, bn= f(bn-1)= , bnbn-1+3bn=3bn-1,又 所以数列 是以1为首项, 为公差的等差数列.,【延伸探究】本例(2)中若m=1,试求数列an的
10、前n项和.,【解析】若m=1,则 由已知得(3-1)S1+2a1=4, 所以a1=1, 即数列an是以1为首项, 为公比的等比数列. 所以Sn= =2-21-n.,【方法总结】综合法证明数列问题的依据,【巩固训练】在数列an中,a1=1,an+1=2an+2n. (1)设bn= ,求证:数列bn是等差数列. (2)求数列an的前n项和Sn.,【解析】(1)因为an+1=2an+2n,所以 因为bn= ,所以bn+1= =bn+1, 所以数列bn是等差数列,其中b1=1,公差为1,(2)由(1)知bn=n,an=n2n-1. 因为Sn=120+221+(n-1)2n-2+n2n-1, 所以2Sn
11、=121+222+(n-1)2n-1+n2n, 两式相减得Sn=n2n-120-121-12n-1 =n2n-2n+1=2n(n-1)+1.,【补偿训练】在等比数列an中,首项a11,公比 q0,nN,且n1.求证lgan+1lgan-1(lgan)2.,【证明】因为an为等比数列, 所以 =an-1an+1(n1). 又因为a11,公比q0,nN,且n1, 所以lgan-1lgan+1 =(lg an)2, 所以lg an+1lg an-1(lg an)2.,类型三综合法证明其他问题 【典例3】已知sin是sin,cos的等差中项,sin是sin,cos的等比中项. 求证:cos4-4cos
12、4=3.,【证明】由已知sin+cos=2sin, sincos=sin2, 2-2得4sin2-2sin2=1. 又sin2= ,sin2= ,代入得, 2cos2=cos2,所以4cos22=cos22, 所以 所以cos4-4cos4=3.,【方法总结】综合法证明的关键 (1)明确条件:充分寻找题目的条件,可在图形上标注(如立体几何的证明),并尽力对知识点进行拓展、联想、挖掘题目的隐含条件. (2)关注目标:综合法证明问题一定要结合题目结论,明确证明方向,这样可少走弯路.,(3)注意转化思想的应用.,【巩固训练】1.在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b
13、-c)sinB+(2c-b)sinC. (1)求证:A为60. (2)若sinB+sinC= ,证明:ABC为等边三角形.,【证明】(1)由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC, 得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2, 所以cosA= .所以A=60.,(2)由A+B+C=180,得B+C=120, 由sinB+sinC= 得sinB+sin(120-B)= , sinB+(sin120cosB-cos120sinB)= . sinB+ cosB= .即sin(B+30)=1.,因为0B120,所以30B+30150, 所以B+30=90,即B
14、=60,所以A=B=C=60. 即ABC为等边三角形.,2.(2017肇庆高二检测)如图,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,点V是圆O所在平面外一点,D是AC的中点,已知AB=2,VA=VB=VC=2. (1)求证:OD平面VBC. (2)求证:AC平面VOD.,【证明】(1)因为O,D分别是AB和AC的中点, 所以ODBC.又OD平面VBC,BC平面VBC, 所以OD平面VBC.,(2)因为VA=VB,O为AB的中点,所以VOAB.连接OC,在VOA和VOC中,OA=OC,VO=VO,VA=VC,所以VOA VOC,所以VOC=VOA=90,所以VOOC.因为ABOC=O,所以VO平面ABC.因为AC平面ABC,所以ACVO.又因为VA=VC,D是AC的中点,所以ACVD. 因为VOVD=V,所以AC平面VOD.,【课堂小结】 1.知识总结,2.方法总结 (1)对综合法的四点说明 思维特点:从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其推理过程实际上是寻找结论成立的必要条件的过程.,优点:条理清晰,易于表述. 缺点:探路艰难,易生枝节. 思维过程,由原因到结果.,(2)综合法的两个特点 用综合法证明不等式,证明步骤严谨,逐层递进,步步为营,条理清晰,形式简洁,宜于表达推理的思维轨迹. 因为用综合法证明命题“若A到D”的思考过程可表示为:,
