《2017-2018版高中数学 第一章 计数原理 2 排列 第2课时 排列的应用 北师大版选修2-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018版高中数学 第一章 计数原理 2 排列 第2课时 排列的应用 北师大版选修2-3（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时排列的应用,第一章2 排列,学习目标 1.进一步加深对排列概念的理解. 2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点排列及其应用,1.排列数公式 (n，mN，mn) . (叫做n的阶乘).另外，我们规定0！ . 2.应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤,n(n1)(n2)(nm1),n(n1)(n2)21,n！,1,题型探究,例1(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？,类型一无限制条件的排列问题,解答,解从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从
2、7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有 765210(种)不同的送法.,(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？,解从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有777343(种)不同的送法.,典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用分步乘法计数原理求其方法种数.排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”.即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取.,反思与感悟,跟踪训练1某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1
3、面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号？,解答,解第1类：挂1面旗表示信号，有 种不同的方法； 第2类：挂2面旗表示信号，有 种不同的方法； 第3类：挂3面旗表示信号，有 种不同的方法. 根据分类加法计数原理，得可以表示的信号共有 33232115(种).,命题角度1元素“相邻”与“不相邻”问题,解答,解(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有 种排法， 女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有 种排法， 全体男生、女生各看作一个元素全排列有 种排法， 由分步乘法计数原理知共有 288(种)排法.,类型二排队问题,例23名男生，4
4、名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法. (1)男、女各站在一起；,(3)男生不能排在一起；,解(不相邻问题插空法)先排女生有 种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的5个空中，有 种排法，故有 1 440(种)不同的排法.,(2)男生必须排在一起；,解答,解(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列， 故有 720(种)不同的排法.,(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻.,解先排男生有 种排法.让女生插空，有 144(种)不同的排法.,处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则.元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑
5、”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.,反思与感悟,跟踪训练2排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单. (1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？,解答,解先排歌唱节目有 种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放入舞蹈节目，共有 种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有 43 200(种)方法.,(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？,解先排舞蹈节目有 种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目
6、放入.所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有 2 880(种)方法.,(3)5个歌唱节目中A，B必须相邻，C，D，E也必须相邻，则排列的方法有多少种？,解答,解将AB捆绑一起，CDE也捆绑一起，应用捆绑法共有 8 640(种)方法.,解甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全体全排列种数的 . 故有 840(种)不同的排法.,命题角度2定序问题,解答,解甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有 2 520(种)不同的排法.,例37人站成一排. (1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？,(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定
7、相邻)，则有多少种不同的排列方法？,反思与感悟,跟踪训练37名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人，若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？,解答,解7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有 种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同的站法， 所以共有 420(种)不同的站法.,命题角度3特殊元素与特殊位置问题,解答,例4从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题： (1)甲不在首位的排法有多少种？,解方法一把同学作为研究对象. 第一类：不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中取出5名放在5个位置上，有 种. 第二类：含有甲，
8、甲不在首位：先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有 种排法.根据分步乘法计数原理，含有甲时共有4 种排法. 由分类加法计数原理，共有 2 160(种)排法.,方法二把位置作为研究对象. 第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有 种方法. 第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有 种方法. 由分步乘法计数原理，可得共有 2 160(种)排法. 方法三(间接法)：即先不考虑限制条件，从7名同学中选出5名进行排列，然后把不满足条件的排列去掉. 不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有 种；甲在首位的情况有 种，所以符合要
9、求的排法有 2 160(种).,解答,解把位置作为研究对象，先满足特殊位置. 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有 种方法. 第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有 种方法. 根据分步乘法计数原理，有 1 800(种)方法.,(2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？,解用间接法. 总的可能情况是 种，减去甲在首位的 种，再减去乙在末位的 种.注意到甲在首位同时乙在末位的情况被减去了两次，所以还需补回一次 种，所以共有 1 860(种)排法.,解答,解把位置作为研究对象. 第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有 种方法. 第二步，
10、从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有 种方法. 根据分步乘法计数原理，共有 1 200(种)方法.,(3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？,(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？,反思与感悟,“在”与“不在”排列问题解题原则及方法 (1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先. (2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置. 提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底.不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、
11、分步混乱，导致解题错误.,跟踪训练4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法？,解答,解6门课总的排法是 ，其中不符合要求的可分为体育排在第一节，有 种排法；数学排在最后一节，有 种排法，但这两种方法，都包括体育排在第一节，数学排在最后一节，这种情况有 种排法.因此符合条件的排法有 504(种).,类型三数字排列问题,解答,例5用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的 (1)能被5整除的五位数；,解答,(2)能被3整除的五位数；,(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列a
12、n，则240 135是第几项.,解答,即240 135是数列的第193项.,数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思路.常见附加条件有： (1)首位不能为0. (2)有无重复数字. (3)奇偶数. (4)某数的倍数. (5)大于(或小于)某数.,反思与感悟,跟踪训练5(1)由数字0,1,2,3,4,5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数有多少个？,解答,解第一类，首位为奇数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数. 第一步：把1,3,5三个数排列在奇数位上，有 种方法. 第二步：把0,2,4三个数排列在偶数位上，有 种方法. 根据分步乘法计数原理，可
13、得首位为奇数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数有 36(个). 第二类，首位为偶数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数. 第一步：把1,3,5三个数排列在偶数位上，有 种方法. 第二步：把0,2,4三个数排列在奇数位上，有 种方法. 根据分步乘法计数原理，可得首位为偶数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数有 24(个). 根据分类加法计数原理可得满足条件的六位数共有362460(个).,解第一类，当数字“1”在首位时，其他数字不受限制，其排列方法 有 种，所以当数字“1”在首位时，满足条件的六位数共有 120(个). 第二类，当数字“1”不在首位时，根据数字“1”只能在奇数位上，数字“1”的位置只
14、能在千位或十位，有2种选择，数字“0”不能在首位，有4种选择，其他数字不受条件限制，其排列方法有 种，所以当数字“1”不在首位时，满足条件的六位数共有24 192(个). 根据分类加法计数原理，可得满足条件的六位数共有120192312(个).,(2)由0,1,2,3,4,5六个数字组成的六位数中，数字1排在奇数位上的数有多少个？(注：本题中提到的“奇数位”按从最高位开始从左到右依次为奇数位、偶数位来理解),解答,当堂训练,2,3,4,5,1,1.6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有 A.240种 B.360种 C.480种 D.720种,解析,解
15、析第一步：排甲，共有 种不同的排法；,答案,2,3,4,1,2.有6道选择题，答案分别为A，B，C，D，D，D，在安排题目顺序时，要求3道选D的题目任意两道不相邻，则不同的排列方法种数为 A.72 B.144 C.288 D.36,答案,解析,解析先排A，B，C，则种数为 6，把选D的三题插入到四个间隔中，则种数为 24， 则不同的排序方法种数为624144.,5,2,3,4,1,3.计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一种画必须连在一起，并且水彩画不能放在两端，那么不同的陈列方式的种数为,答案,解析,解析先把每种品种的画看作一个整体，而水彩
16、画只能放在中间， 则油画与国画放在两端有 种放法，再考虑4幅油画本身排放有 种方法，5幅国画本身排放有 种方法，故不同的陈列法有 种方法.,5,2,3,4,1,4.从6名短跑运动员中选出4人参加4100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有_种参赛方案.,答案,240,解析,5,2,3,4,1,解析方法一从人(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类： 第1类，甲不参赛，有 种参赛方案； 第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有 种方法，此时有 种参赛方案. 由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有 240(种).,5,2,3,4,1,方法二从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有 种方法；其余两棒从剩余4人中选，有
