《2017-2018版高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理 新人教B版选修1-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018版高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理 新人教B版选修1-2（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.1.1合情推理,第二章 2.1 合情推理与演绎推理,学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理. 2.了解合情推理在数学发现中的作用.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一归纳推理,思考,(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电. (2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体. 以上属于什么推理？,答案,答案属于归纳推理.符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理.,梳理 (1)定义：根据一类事物的 具有某种性质，推出该类事物的 都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(
2、简称归纳). (2)特征：由 到 ，由 到 .,部分对象,所有对象,部分,整体,个别,一般,科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等.由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在.他们使用了什么样的推理？,知识点二类比推理,思考,答案类比推理.,答案,梳理 根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫类比推理(简称类比).,答案 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由特殊到特
3、殊的推理. 联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假.,知识点三合情推理,思考1 归纳推理与类比推理有何区别与联系？,答案,归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？,思考2,答案归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，结论不一定正确.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定正确.,答案,梳理 (1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过_、_、_、_，再进行_、_，然后提出_的推理，我们把它们统称为合情推理.简言之，合情推理就是“合乎情理”的推理. (2)推理的过程,观察,分
4、析,比较,联想,归纳,类比,猜想,题型探究,命题角度1数、式中的归纳推理 例1(1)观察下列等式：,类型一归纳推理,据此规律，第n个等式可为_ _.,答案,解析,解析等式左边的特征：第1个有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，,故第n个等式左边有2n项且正负交错，,第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，,故第n个等式右边有n项，且由前几个等式的规律不难发现，,(2)已知f(x) ，设f1(x)f(x)，fn(x)fn1(fn1(x)(n1，且nN)，则f3(x)的表达式为_，猜想fn(x)(nN)的表达式为_.,答案,解析,又fn(x)fn1(fn1(x)，,引申探究 在本例(2
5、)中，若把“fn(x)fn1(fn1(x)”改为“fn(x)f(fn1(x)”，其他条件不变，试猜想fn(x) (nN)的表达式.,解答,又fn(x)f(fn1(x)，,(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法 要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；提炼出等式(或不等式)的综合特点；运用归纳推理得出一般结论. (2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和. 通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；运用归纳推理写出数列的通项公式
6、或前n项和公式.,反思与感悟,答案,解析,(2)观察下列等式：,答案,解析,命题角度2图形中的归纳推理 例2如图，第n个图形是由正n2边形“扩展”而来(n1,2,3，)，则第n个图形中顶点的个数为,A.(n1)(n2) B.(n2)(n3) C.n2 D.n,答案,解析,解析由已知中的图形我们可以得到： 当n1时，顶点共有1234(个)， 当n2时，顶点共有2045(个)， 当n3时，顶点共有3056(个)， 当n4时，顶点共有4267(个)， ， 则第n个图形共有顶点(n2)(n3)个， 故选B.,图形中归纳推理的特点及思路 (1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系. (2)从图
7、形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化.,反思与感悟,跟踪训练2黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中黑色地面砖的块数是_.,5n1,解析观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列， 从而第n个图案中黑色地面砖的块数为6(n1)55n1.,答案,解析,命题角度1数列中的类比推理 例3设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_， 成等比数列.,类型二类比推理,答案,解析
8、,解析由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列.下面证明该结论的正确性： 设等比数列bn的公比为q，首项为b1，,已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论(其中d，q分别是公差和公比)：,反思与感悟,跟踪训练3若数列an(nN)是等差数列，则有数列bn (nN)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列cn是等比数列，且cn0，则有数列dn_(nN)也是等比数列.,答案,解析,解析数列an(nN)是等差数列，,类比猜想：若数列cn是各项
9、均为正数的等比数列，,命题角度2几何中的类比推理 例4如图，在RtABC中，C90.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.,解答,解如题图，在RtABC中，C90.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2. 类似地，如图所示，在四面体PDEF中，PDFPDEEDF90.,设S1，S2，S3和S分别表示PDF，PDE，EDF和PEF的面积，相对于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.,(1)类比推理的一般步骤,反思与感悟,(2
10、)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下：,跟踪训练4在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为，cos2cos21，则在立体几何中，给出类比猜想并证明.,解答,解在长方形ABCD中，,于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为，则cos2cos2cos21.,证明如下：,当堂训练,1.有一串彩旗，代表蓝色，代表黄色.两种彩旗排成一行，如图所示： ， 那么在前200个彩旗中黄旗的个数为 A.111 B.89 C.133 D.67,答案,2,3,4,5,1,解析观察彩旗排列规律可知
11、，颜色的交替成周期性变化，周期为9，每9个旗子中有3个黄旗.则200922余2， 则200个旗子中黄旗的个数为223167.故选D.,解析,2.下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是 A.三角形 B.梯形 C.平行四边形 D.矩形,答案,2,3,4,5,1,解析,解析因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.,2,3,4,5,1,答案,解析,4.按照图1、图2、图3的规律，第10个图中圆点的个数为_.,2,3,4,5,1,答案,解析,40,解析图1中的点数为414， 图2中的点数为824， 图3中的点数为1234， 所以第10个图中的点数为10440.,5.在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_.,2,3,4,5,1,18,解析设两个正四面体的体积分别为V1，V2，,答案,解析,规律与方法,1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向. 2.合情推理的过程概括为,
