电磁场第1章课件

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1、第1章矢量分析及场论,1.1 矢量分析 1.2 正交曲面坐标系 1.3 场论基础,1.1 矢量分析,1.1.1矢量和标量 1标量 标量：只有大小没有方向的量，如温度、时间、质量等。,图1-1矢量A图示,2矢量 矢量：既有大小又有方向的量。矢量可以形象地用一条有向线段表示，线段的长度表示矢量的模，其方向代表矢量的方向，如图1-1所示，矢量A可表示为,A=eAA,（1-1）,其中，A表示矢量A的模，即,（1-2a）,eA表示矢量A的单位矢量，沿矢量A方向且大小为1的无量纲矢量，即,（1-2b）,3空间位置矢量与距离矢量 空间位置矢量（positionvector）：简称位矢，用r表示。如图1-2所

2、示，空间位置矢量指从坐标原点出发向空间任意点P(x,y,z)引出的有向线段，可以用三坐标投影唯一地表示为,（1-3）,距离矢量：在电磁场理论中，通常用r表示场点P(x,y,z)的位置矢量，用r表示源点P(x,y,z)的位置矢量，用R表示从源点P出发引向场点P的距离矢量，即,（1-4）,R的模为,R的方向为,（1-5a）,（1-5b）,图1-2空间位置矢量和距离矢量,1.1.2矢量运算 1矢量的加法和减法 矢量的加、减运算遵循四边形法则，即两个不在同一直线上的矢量决定一个平面，它们的和是同一平面上的另一矢量。 1）矢量加法 【例1-1】已知矢量A、B，求C=A+B。 解可以使用作图法得到C=A+

3、B。,（1）平行四边形法：从坐标系中同一点画出矢量A和矢量B，构成一个平行四边形，其对角线就是和矢量C，如图1-3(a)所示。 （2）首尾相接法：矢量A的头接于矢量B的尾，从A的首端画到B的尾端，所得矢量就是它们的和矢量C，如图1-3(b)所示。,图1-3矢量加法 (a)平行四边形法；（b）首尾相接法,2）矢量减法 借助于矢量加法运算，矢量减法可以写成,A-B=A+（-B）,（1-6）,-B为矢量B的负值，即-B的模与B相等，但方向相反。 令D=A-B，采用如图1-4所示的作图法，表示从矢量A中减去矢量B。,图1-4矢量减法,3）矢量加法的代数表示 矢量加法可以用代数表示为,A+B=(Ax+B

4、x)ex+(Ay+By)ey+(Az+Bz)ez,（1-7）,4）矢量加法的特性 矢量加法满足交换律和结合律，即,A+B=B+A,A+(B+C)=(A+B)+C,（1-8a）,（1-8b）,2矢量的乘法 矢量乘法分为以下三种情况： （1）矢量乘以标量：B=kA。 如图1-5所示，B=kA，B的方向根据k的取值而不同，若k0，则B与A同向；若k0，则B与A反向。 在直角坐标系下,B=kA=k(Axex+Ayey+Azez),图1-5 常数与矢量乘积示意图,（2）矢量点乘:C=AB。 定义：矢量点乘等于两矢量的模值与它们之间较小夹角的余弦乘积，即,AB=|A|B|cos,（1-10）,如图1-6所

5、示，矢量点乘的结果是一标量，也称为标量积(scalarproduct)或矢量点积(dotproduct)。,图1-6矢量点乘示意图,在直角坐标系下,AB=(exAx+eyAy+ezAz)(exBx+eyBy+ezBz) =AxBx+AyBy+AzBz,（1-11）,矢量点乘满足交换律和分配律，即,AB=BA,A（B+C）=AB+AC,（1-12a）,（1-12b）,（3）矢量叉乘：C=AB。 定义：矢量叉乘的方向垂直于包含A、B所在的平面，其值等于A、B两矢量的大小与它们之间较小夹角的正弦之积（即两矢量所组成平行四边形的面积），即,AB=enABsin,（1-13）,叉乘的模C=ABsin，叉

6、积的方向en是A、B所在平面的法向，如图1-7（a）所示。叉积的方向也可以用右手螺旋法则确定：右手四指从A到B旋转角，大拇指所指方向表示矢量叉乘的方向，如图1-7（b）所示。,图1-7决定叉积C=AB方向的法则 （a）叉积方向示意图；（b）右手螺旋法则,矢量叉乘结果为一矢量，又称为矢量积（vectorproduct）。 矢量叉乘可以采用行列式计算。在直角坐标系下：,矢量叉乘满足分配律，即,A(B+C)=AB+AC,（1-14）,（1-15）,矢量叉乘不满足交换律和结合律，即,AB=-BABA A(BC)(AB)C,【例1-2】用矢量证明三角形正弦定理。 证明如图1-8所示，三角形三边分别用矢量

7、A、B、C表示，根据矢量运算有,B=C-A,因为BB=0，则有,B(C-A)=0,BC=BA,所以,BC sin=BA sin(-),最后可得,同理，可以证明,图1-8矢量三角形,3三个矢量的乘积 三个矢量的乘积分为两类：三重标量积和三重矢量积。 1）三重标量积 三重标量积可表示为,A(BC)=B(CA)=C(AB),（1-16）,式（1-16）有明显的规律，满足顺序循环记忆法则，即A、B、C的次序满足循环互换规律。 如果三个矢量代表一个平行六面体的边，如图1-9所示，则三重标量积就是此六面体的体积。,图1-9三重标量积A（BC）示意图,2）三重矢量积 三重矢量积可表示为,A(BC)=B(AC

8、)-C（AB）,（1-17）,式（1-17）具有明显的规律：左边是三重矢量积，右边是点积再倍乘（三重乘积）；左边是一项，右边是两项之差，且矢量出现顺序按左边矢量排列顺序出现。,1.2正交曲面坐标系,1.2.1直角坐标系 如图1-10所示，直角坐标系是由三个正交的平面构成，其任意两个平面的交线均为直线，分别称为x轴、y轴和z轴，三轴线的交点是原点O。分别用单位矢量ex、ey和ez表征矢量沿x、y和z轴分量的方向，ex、ey和ez相互正交且满足右手螺旋法则，即exey=ez，eyez=ex，ezex=ey，而空间任意一点P可用点P在三轴线上的投影x0、y0和z0唯一确定。,图1-10空间点表示,1

9、直角坐标系中的矢量及其表示 在直角坐标系中，对任意矢量A，假设Ax、Ay、Az分别是矢量在三个坐标方向的投影，则A可以写成,A=Axex+Ayey+Azez,（1-18）,矢量A的模为,（1-19a）,矢量A的方向为,【例1-3】在直角坐标系下，试求： (1)空间点M（1，3，2）。 (2)标量场(x,y,z)=2x+y-3z在空间点M(1,3,2)处的场值。 (3)矢量场在空间点M(1,3,2)处的矢量场。,解（1）M(1,3,2)表示直角坐标系下空间的一个点，点的x坐标等于1，y坐标等于3，z坐标等于2。 （2）标量场在空间点M处的值：,(x,y,z)|M=(x=1,y=3,z=2)=21

10、+3-32=-1,（3）矢量场A在空间点M处的值： 因为,A(x,y,z)=Axex+Ayey+Azez,所以,可得,矢量A的模,2长度、面和体积的微分元 电磁场理论中常常用到线、面和体积分，在直角坐标系中矢量长度、矢量面积、体积的微分元如图1-11所示。 在正交坐标系中，坐标变换的微分元可能并非都有长度量纲，需要将它们分别乘以一个变换因子，才能构成沿坐标单位矢量的微分长度元。这个变换因子称为拉梅系数，用h1、h2、h3表示。直角坐标系的拉梅系数h1=1、h2=1、h3=1。,图1-11微分元,矢量长度元,矢量面积元,dV=dx dy dz,（1-21）,矢量体积元,1.2.2圆柱坐标系 如图

11、1-12（a）所示，圆柱坐标系的三个变量是、z。与直角坐标系相同，圆柱坐标系也有一个z变量。各变量的变化范围：0,02,-z。,图1-12圆柱坐标系 (a)圆柱坐标系；(b)圆柱坐标系中一点P,如图1-12(b)所示，决定空间任一点P(1,1,z1)的三个坐标曲面如下： （1）=1，以z轴为轴线、1为半径的圆柱面。1是点P到z轴的垂直距离。 （2）=1，以z轴为界的半平面。1是xOz平面与通过点P的半平面之间的夹角，定义逆时针方向为正方向，若点P在z轴，则角不确定。 （3）z=z1，与z轴垂直的平面。z1是点P到xOy平面的垂直距离。 如图1-13所示，过空间任一点P(1,1,z1)的坐标单位

12、矢量e、e、ez相互正交，且满足右手螺旋法则，即,ee=ez,eez=e，eze=e,图1-13圆柱坐标系单位矢量循环关系,1矢量及其表示 位于点P(1,1,z1)的任一矢量A可表示为,A=Ae+Ae+Azez,（1-23）,其中，A、A、Az分别是矢量在e、e、ez方向上的投影。 【注】角相对x轴逆时针旋转为正方向。,2长度、面和体积的微分元 1)拉梅系数 圆柱坐标系的拉梅系数为h1=1、h2=、h3=1。 2)矢量长度元 如图1-14所示，在点P(1,1,z1)处沿e、e、ez方向的长度元分别为,（1-24）,图1-14圆柱坐标系微分元,3)矢量面积元 由+d,+d，zz+dz六个坐标曲面

13、决定的六面体上的面积元为,（1-25）,4)六面体的体积元 六面体的体积元可表示为,dV=dldzdlz=dddz,（1-26）,1.2.3球坐标系 如图1-15所示，球坐标系的三个坐标矢量为r、，与圆柱坐标系相似，它也有一个变量，它们的变化范围：0r,0,02。,图1-15球坐标系,决定空间任一点P(r1,1,1)的三个坐标曲面如下： （1）r=r1，这是以原点为圆心、以r1为半径的球面。r1是点M到原点的距离。 （2）=1，这是以原点为顶点、以z轴为轴线的圆锥面。1是z轴正向与连线OP之间的夹角。坐标变量称为极角。,（3）=1，这是以z轴为界的半平面。 1是xOz平面与通过点P的半平面之间

14、的夹角。坐标变量ms称为方位角，位于z轴上的点，其角是不确定的。 如图1-16所示，过任意点P(r1,1,1)的坐标单位矢量为er、e、e，它们相互垂直，并遵循右手螺旋法则，即,ere=e,ee=er,eer=e,图1-16球坐标系单位矢量循环关系,1矢量及其表示 球坐标系下点P的任一矢量A可表示为,A=Arer+Ae+Ae,其中，Ar、A、A分别是矢量A在er、e、e方向上的投影。,2长度、面和体积的微分元 1)拉梅系数 球坐标系的拉梅系数为h1=1、h2=r、h3=rsin。 2)矢量长度元 如图1-17所示，在点P(r,)处沿er、e、e方向的长度元分别为,（1-28）,图1-17球坐标

15、微分元,3)矢量面积元 由rr+dr，+d，+d六个坐标曲面决定的六面体上的矢量面积元为,4)六面体的体积元 六面体的体积元可表示为,（1-30）,1.2.4圆柱坐标系、球坐标系与直角坐标系的矢量变换 1圆柱坐标系和直角坐标系之间的相互转换 1）单位矢量坐标变换 如图1-18所示，圆柱坐标系单位矢量e、e用直角坐标单位矢量可表示为,（1-31）,从直角坐标系到圆柱坐标系的单位矢量变换关系可写成如下矩阵形式:,（1-32）,图1-18,2）矢量变换 如果矢量A是以圆柱坐标系来表示的，将它投影到直角坐标系x、y、z轴上，就得到矢量A在直角坐标系中的表达式,即,转化成矩阵形式，即,同样，直角坐标系中

16、的矢量，通过下列变换可以得到其在圆柱坐标系中的表达式：,（1-33）,（1-34）,【例1-4】求矢量在直角坐标系中的表达式。 解,其中,所以矢量A在直角坐标系中的表达式为,【例1-5】在圆柱坐标系下，若矢量A=3e+2e+5ez，B=-2e+3e-ez分别位于点 和,求空间点上的矢量和A+B。 解因为矢量A、B没有位于常数的圆柱坐标系中，所以在圆柱坐标系下不能直接求和，必须首先转换到直角坐标系下求和，再转换到圆柱坐标系下。,因为对点，矢量A=3e+2e+5ez可转化为如下矩阵形式：,所以，直角坐标系下，,所以，在直角坐标系下,矢量和为,将直角坐标系下的矢量C转换到圆柱坐标系下点，得到如下矩阵形式：,【注】 （1）一个矢量从一种坐标系变换到另一种坐标系，只改变矢量的表达形式，矢量的模和方向不会改变。 （2）矢量求和通常转换到直角坐标系下求和。,2球坐标系与直角坐标系互换 1）单位矢量坐标变换 与圆柱坐标系类似，可以得到球坐标系单位矢量与圆柱坐标系单位矢量之间的变换关系，即,（1-35a）,（1-35b）,（1-35c）,转化成矩阵形式，即,（1-36）,对球坐