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1、（全国通用版）高考数学一轮复习第十一单元空间位置关系学案理第十一单元 空间位置关系教材复习课“空间位置关系”相关基础知识一课过4个公理过双基1平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2平行公理公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行1以下四个命题中，不共面的四点中，其中任意三点不
2、共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面正确命题的个数是()A0B1C2 D3解析：选B假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；不正确；不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形2下列命题中，真命题是()A空间不同三点确定一个平面B空间两两相交的三条直线确定一个平面C两组对边相等的四边形是平行四边形D和同一直线
3、都相交的三条平行线在同一平面内解析：选DA是假命题，当三点共线时，过三点有无数个平面；B不正确，两两相交的三条直线不一定共面；C不正确，两组对边相等的四边形可能是空间四边形；D正确，故选D.3三个不同的平面可能把空间分成_部分(写出所有可能的情况)解析：如图(1)，可分成四部分(互相平行)；如图(2)(3)，可分成六部分(两种情况)；如图(4)，可分成七部分；如图(5)，可分成八部分答案：4,6,7,8清易错1三点不一定确定一个平面当三点共线时，可确定无数个平面2判断由所给元素(点或直线)确定平面时，关键是分析所给元素是否具有确定唯一平面的条件，如不具备，则一定不能确定一个平面1如图是正方体或
4、四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()解析：选DA，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面2过同一点的4条直线中，任意3条都不在同一平面内，则这4条直线确定平面的个数是_解析：设四条直线为a，b，c，d，则这四条直线中每两条都确定一个平面，因此，a与b，a与c，a与d，b与c，b与d，c与d都分别确定一个平面，共6个平面答案：6空间点、线、面的位置关系典例如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，BF3，G和H分别是CE和CF的中点(1)求证：平面BDGH平面AEF；(2)求多面体ABCDEF
5、的体积解(1)证明：在CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GHEF.又因为GH平面AEF，EF平面AEF，所以GH平面AEF.设AC与BD的交点为O，连接OH，在ACF中，因为O，H分别是AC，CF的中点，所以OHAF.又因为OH平面AEF，AF平面AEF，所以OH平面AEF.又因为OHGHH，OH平面BDGH，GH平面BDGH，所以平面BDGH平面AEF.(2)因为AC平面BDEF，又易知AO，S矩形BDEF326，所以四棱锥ABDEF的体积V1AOS矩形BDEF4.同理可得四棱锥CBDEF的体积V24.所以多面体ABCDEF的体积VV1V28.方法技巧判定面面平行的4种方法(1
6、)面面平行的定义，即判断两个平面没有公共点；(2)面面平行的判定定理；(3)垂直于同一条直线的两平面平行；(4)平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行即时演练1已知平面平面，P是，外一点，过点P的直线m与，分别交于点A，C，过点P的直线n与，分别交于点B，D，且PA6，AC9，PD8，则BD的长为()A16B24或C14 D20解析：选B设BDx，由ABCDPABPCD.当点P在两平面之间时，如图1，得x24；当点P在两平面外侧时，如图2，得x.2.如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点(1)求证：BE平面DMF；(2)
7、求证：平面BDE平面MNG.证明：(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为ABE的中位线，所以BEMO.又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN，又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为ABD的中位线，所以BDMN，又MN平面MNG，BD平面MNG，所以BD平面MNG，又DEBDD，DE平面BDE，BD平面BDE，所以平面BDE平面MNG.1(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这
8、四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()解析：选A法一：对于选项B，如图所示，连接CD，因为ABCD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQCD，所以ABMQ .又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ.同理可证选项C、D中均有AB平面MNQ.故选A.法二：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接OQ，则OQAB.因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行，根据直线与平面平行的判定定理及三角形的中位线性质知，选项B、C、D中AB平面MNQ.故选A.2(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2
9、，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选C法一：如图所示，将直三棱柱ABCA1B1C1补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1BC1，所以B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角因为ABC120，AB2，BCCC11，所以AB1，AD1.在B1D1C1中，B1C1D160，B1C11，D1C12，所以B1D1，所以cosB1AD1.法二：如图，设M，N，P分别为AB，BB1，B1C1的中点，连接MN，NP，MP，则MNAB1，NPBC1，所以PNM或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角易知MNAB1，NPB
10、C1.取BC的中点Q，连接PQ，MQ，可知PQM为直角三角形，PQ1，MQAC.在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcosABC412217，所以AC，MQ.在MQP中，MP，则在PMN中，cosPNM，所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.3(2017全国卷)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90.(1)证明：直线BC平面PAD；(2)若PCD的面积为2，求四棱锥PABCD的体积解：(1)证明：在平面ABCD内，因为BADABC90，所以BCAD.又BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.(2)取AD的中点M
11、，连接PM，CM.由ABBCAD及BCAD，ABC90，得四边形ABCM为正方形，则CMAD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM底面ABCD.因为CM底面ABCD，所以PMCM.设BCx，则CMx，CDx，PMx，PCPD2x.取CD的中点N，连接PN，则PNCD，所以PNx.因为PCD的面积为2，所以xx2，解得x2(舍去)或x2.于是ABBC2，AD4，PM2.所以四棱锥PABCD的体积V24.4(2016全国卷)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为
12、PC的中点(1)证明MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积解：(1)证明：由已知得AMAD2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为MN平面PAB，AT平面PAB，所以MN平面PAB.(2)因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.取BC的中点E，连接AE.由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距离为，故SBCM42.所以四面体NBCM的体积VNBCMSBCM.5(2014全国卷)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面AB
13、CD，E为PD的中点 (1)证明：PB平面AEC；(2)设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求A到平面PBC的距离解：(1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO.因为平面ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB.又EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)由VPAABADAB.V，可得AB.作AHPB交PB于H.由题设知BC平面PAB，所以BCAH，又BCPBB，故AH平面PBC.又AH，所以A到平面PBC的距离为.一、选择题1(2018惠州模拟)设直线l，m，平面，则下列条件能推出的是()Al，m，且l，mBl，m，且lmCl，m，且lmDl，m，且lm解析：选C借助正方体模型进行判断易排除选项A、B、D，故选C.2.如图，在长方体ABCDABCD中，下列直线与平面ADC平行的是()ABCBABCAB DBB解析：选B连接AB，ABCD，CD平面ADC，AB平面ADC.3设，是两个不同的平面，m，n是平面内的两条不同直线，l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分不必要条件是()Aml1且nl2 Bm且nl2
