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1、第四讲(一) 第三章 静态电磁场,主要内容: 静态电场的基本问题 带电导体系的作用力 静态电场的能量 静态磁场基本问题 静态磁场的能量,3.1 静电场及其方程,1 电位函数及其方程 对于静电场,Maxwell方程为 这说明静电场是有散无旋矢 量场,可以表示为某个标量 场的梯度。,V,S,n,引入电位函数 ,令 得到 满足的方程 如果 ,变为Lap lace方程 问题:静电场与电位函数是不是一一对应 关系,这是否意味着由电位函数决 定的静电场是多值的?,(Poisson方程),电位函数方程的求解,必需知道位函数 在区域边界上的状态,即边界条件。所 谓边界条件即电场在介质交界面两侧所 满足的方程。
2、,2 边界条件,n,3 导体的边界条件,导体内部存在大量 可自由移动的电子 宏观上呈现电中性,E,+,+,+,+,+,达到静电平衡状态 导体内部电场为零,附加场,没有外加电场,电场中的导体: 导体内部电场为零,导体为等势体; 导体边界面上电场的切向分量为零; 电荷只分布在导体的表面,4 静电场的定解问题 均匀介质空间中的静 电场为确定边界条件下 Poisson方程的解,即,【例3-1】电偶极子由相距一 小距离L的两个等值异号的 点电荷所组成的电荷体系, 其方向由负电荷指向正电 荷,大小为: 。求 电偶极子在远处的电场。,q,-q,M,r2,r1,5 静电场的能量和能量密度 静电场对置于其中的电
3、荷有力的作用,并对 电荷作功。这说明静电场具有能量。 根据能量守恒原理,静电场的能量等于电荷 体建立过程中,外力克服静电力做功的总和,第一个小电荷元自从无穷远处移 到r1,外界克服电场力做功为零,第二个小电荷元自从无 穷远处移到r2点时,外 力克服电场力作功为:,第三个小电荷元自从无穷远处移到r3点 时,外力克服电场力作功为:,第n个小电荷元自从无穷远处移到rn点时,外力 克服电场力作功为:,另一方面:,另一方面:,静电场能量既可以通过电荷的分布计算,也可以通过电场计算,但能量密度函数只能表示为电场的函数。,能量密度函数,两者都可作为静电场能量计算公式但意义不同,能否作为能 量密度函数,将静电
4、场能量公式应用到导体系,由于导体 的电位为常数,从而得到导体系的能量为 导体系相对于同一参考点的电位 导体系的电荷量,6 带电体系的静电作用力 虚功原理如下:设一定空间结构 的带电体系,静电能为 。假 想该电荷体系的空间位形结构在 静电力作用下发生小的移 ,变 化后体系的静电能为We, 静电 力作的虚功为: 该虚功等于电荷体系能量的减少, 将上式应用于电荷保持不变导体系: 结合导体系能量表达式,静电力为,单位导体表面积受到的静电力是: 为系统总电荷在导体表面处产生的电场 (含受力面元本身的电荷在内),问题:根据库仑定律 按照虚功原理得到:, 将上式应用于电位保持不变导体系: 导体系在改变过程中
5、,电位保持不变,则导体 系电荷量将发生变化。外界(电源)对导体系 作功,其中一部分转变为静电场能,另外一部 分为导体系空间结构变化静电力所作的功。,x,l,d,【例】 平行板电容器宽长度为l,宽度为b, 间距为d 。电容器两板极之间的部分区域充 满了电介质。如果将平行板电容器接入电压 为V0 的直流电源,求电容器的储能;求介质 板在拉出时受到的作用力。,忽略平行板的边缘效应, 两板极之间的电场为,3.4 恒定电流的磁场,1 恒定电流磁场的矢势 恒定电流产生的磁场满足的方程是:,引入矢量函数 ,磁感应强度可表示为 称矢量函数 为磁矢势。但存在的问题是:,造成磁矢势不是唯一的原因是: 旋度由 确定
6、 而 的散度没有唯一确定。 为使 A 与 B 之间是唯一对应关系,对磁 矢势附加条件,才能够则唯一确定。,令磁矢势满足 这是一个矢量Poisson方程,包含三个标量 Poisson方程,是求恒定电流磁场的基本方程,利用磁场在两介质边界上满足的条件 导出磁矢势的边界条件:,2 边界条件,由于电流分布的轴对称性,磁矢势以z为对 称轴,与 无关。,3 小电流环磁偶极矩的磁场,在有传导电流分布的区域 上,磁场的旋度不为零。 然而,在没有传导电流分 布的区域内,磁场的旋度 为零。具有静态电场的特 点。 因此在电流分布区 域以外的空间上磁场也可 以为某个标量场的散度。,无源区,源区,4 磁场的标量磁位,称
7、为磁标位。必须注意的是,磁标位只能 在没有传导电流的空间区域引入。这一方法 对于讨论介质中磁场的求解方程方便。,引入标量函数 ,在无电流区域上 磁场可以表示为:,利用磁感应强度无散特性和磁场定义,得到: 定义假想的磁荷密度为:,外加磁场,介质磁化的效果 用等效磁荷描述,介质中磁标位满足的方 程及其边界条件是:,电位和标量磁位之间的比较,介质1,介质2,证:下标1代表磁性介质,2代表真空 由磁场的边界条件 得到:,H10,【例】证明 的磁性介质为等磁位体,3.5 电感与磁场的能量,1、自感与互感现象 线圈C上电流发生变化时,它所激发的 磁场也发生变化, 通过闭合曲线C所对 应的曲面的磁通量也发生
8、变化。必将 在闭合线圈C上产生感应电动势。这种 由于闭合线圈C自身电流变化而激发的 电动势的现象称为自感现象。,C1,C2,I1,I2,互感现象,电流环C1在空间产生磁场,该磁场对以回路C2为 边界的曲面的磁通量(又称为磁通匝链数)为:,2、自感与互感系数,是一个与空间介质的磁导率、C1和C2的几何结构有 关的常量。这说明,电流环C1产生的磁场在以C2为 边界的任意曲面上的磁通量与C1上的电流强度之比 值与C1上的电流强度无关,该常量描述了载流线圈 上单位电流强度在空间某回路为边界的曲面上产生 磁通量的能力,称电感系数。它与电容、电阻一起 构成了电路的基本参量。,C1中的电流在其自身边界的曲面
9、上产生磁 通量与C1上的电流强度之比为自感系数, 记为L,使C2 C1 C,得到:,C2 C1,C1中的电流在C2为边界的曲面上产生的磁 通量与C1中的电流强度之为互感系数, 记为M12,C2 C1,3、磁场的能量 导线回路电流在建立的过程中,导线中 电流增大将使空间磁场增强;增强的磁 场将使以导线为边界的曲面上的磁通量 改变,在回路上产生感应的电动势,阻 止电流的增加。电源作的功转变为系统 的磁场能(电流建立的过程中没有其它 形式的能量损耗)。,电流环,磁场力线,dt时间内,电源对回路 j 所作的功为 dt电源对整个回路系统作的功为 ,,恒定电流磁场的能量由电流的分布唯一确定,问题:不能代表磁场能量密度?,磁场能量密度,