《【精编版】高考数学一轮复习热点难点突破不拉分系列(九)由题定法,解开数列中探索性问题的神秘面纱》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【精编版】高考数学一轮复习热点难点突破不拉分系列(九)由题定法,解开数列中探索性问题的神秘面纱（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 【三维设计】 2013 届高考数学一轮复习热点难点突破不拉分系列 （九）由题定法，解开数列中探索性问题的神秘面纱新人教版 探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类 题目的条件或结论不完备，要求考生自己去探索，结合已 知条件，进行观察、分析、比较和概括它对考生的数学 思想、数学意识及综合运用数学方法解决问题的能力提出 了较高的要求这类问题不仅考查考生的探索能力，而且 给考生提供了创新思维的空间，所以备受高考的青睐，是 高考重点考查的内容探索性问题一般可以分为：条件探 索性问题、规律探索性问题、结论探索性问题、存在探索 性问题等 典例 已知数列 an 的首项a1 3 5， an1 3an
2、 2an1， nN *. (1) 求证：数列 1 an 1 为等比数列； (2) 记Sn 1 a1 1 a2 1 an，若 Sn100，求最大正整数n； (3) 是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且am1，as1，an 1 成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由 解 (1) 证明：因为 1 an1 2 3 1 3an，所以 1 an11 1 3an 1 3. 又因为 1 a110，所以 1 an10( nN *) ，所以数列1 an1 为等比数列 (2) 由(1) ，可得 1 an 1 2 3 1 3 n 1， 2 所以 1 an 2 1 3 n1.
3、 Sn 1 a1 1 a2 1 an n2 1 3 1 3 2 1 3 n n2 1 3 1 3 n1 1 1 3 n 1 1 3 n， 若Sn100，则n1 1 3 n100，所以最大正整数n的值为 99. (3) 假设存在，则mn2s，(am1)(an 1) (as1) 2， 因为an 3 n 3 n2， 所以 3 n 3 n21 3 m 3 m21 3 s 3 s21 2. 化简，得 3 m 3 n23s. 因为 3 m 3 n2 3 mn23s，当且仅当 mn时等号成立又m，s，n互不相等，所 以 3 m 3 n23s 不成立，所以不存在满足条件的m，n，s. 题后悟道 本题属于存在探
4、索性问题，处理这种问题的一般方法是：假定题中的数学 对象存在或结论成立或暂且认可其中的一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理若由 此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用 解决数列探索性问题基本方法： (1) 对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知条件入手，执果 索因，导出所需的条件 (2) 对于结论探索性问题，需要先得出一个结论，再进行证明注意含有两个变量的问 题，变量归一是常用的解题思想，一般把其中的一个变量转化为另一个变量，根据题目条件， 确定变量的值 数列中大小关系的探索问题可以采用构造函数，根据函数的单调性进行证明， 这是解决
5、复杂问题常用的方法 (3) 处理规律探索性问题，应充分利用已知条件，先求出数列的前几项，根据前几项的 特点透彻分析，发现规律、猜想结论 针对训练 已知数列 an中，a1 1，且点P(an，an1)(n N * ) 在直线xy10 上 (1) 求数列 an 的通项公式； (2) 设bn 1 an， Sn表示数列 bn 的前n项和，试问：是否存在关于n的关系式g(n)，使 得S1S2S3Sn1(Sn1)g(n) 对于一切不小于2 的自然数n恒成立？若存在，写 3 出g(n) 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由 解： (1) 由点P(an，an 1) 在直线xy1 0上，即an1an1， 且a11，即数列 an是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列 则an1(n1)1n(nN *) (2) 假设存在满足条件的g(n) ， 由bn 1 n，可得 Sn1 1 2 1 3 1 n， SnSn1 1 n( n2)， nSn(n1)Sn1Sn 11， (n1)Sn 1(n2)Sn2Sn21， 2S2S1S11. 以上 (n1) 个等式等号两端分别相加得 nSnS1S1S2S3Sn 1n1， 即S1S2S3Sn1nSnnn(Sn1)，n2. 令g(n)n， 故存在关于n的关系式g(n) n， 使得S1S2S3Sn1(Sn1)g(n) 对于一切不小于2 的自然数n恒成立
