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1、九年级数学下册第二十六章反比例函数26.1反比例函数26.1.1反比例函数教案新版新人教版26.1.1反比例函数教学模式介绍：数学的核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学学科素养既相对独立，又互相交融，是一个有机的整体。核心素养下的教学设计是利用设计好的核心问题在课堂中培养学生的数学核心素质，重视学生在学习活动中的主体地位，让学生在积极参与学习活动的过程中得到发展。教师创设情境设计问题，或通过富有启发性的讲授，或引导学生独立思考、自主探索、合作交流，组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，有效地启发学生思考，使学生成为学习的主体，学会学习。课
2、堂教学中，要注重让学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能，让学生感悟数学思想，积累数学活动经验，在学习数学和应用数学的过程中，发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养，让学生能与他人建立良好关系，有效地管理自己的学习、生活，能够发掘自身潜力，战胜学习数学中的困难，让学生能够适应未来社会、进行终身学习，实现全面发展。设计思路说明： 反比例函数是在学习了一次函数和二次函数的基础上的教学内容，大部分学生已经获得学习函数的一般方法和思路，作为起始课，肯定也是由实际问题开始引入，抽象归纳出概念，再对概念进行辨析理解，而后运用概念解决问题。第一环节“观察分析，导入新
3、知”，类比一次函数和二次函数的引入，用教材的思考栏目的实际问题，引导学生分析得出每个问题中变量之间的关系式；第二环节“联系归纳，建立模型”，通过问题2和追问，层层设问引导学生抽象出反比例函数的一般表达式，再从表达式的变形和问题1中的实际问题中提炼出新函数中的两个变量是成反比例关系的，从而命名“反比例函数”，最后归纳完善概念；第三环节“辨析概念，体会运用”，问题3各种函数形式的给出让学生进行判断，强化反比例函数的概念，也强化反比例函数中的两个变量乘积为定值的基本特征，问题4对比正比例函数，让学生从解析式上对成正比例和反比例的两个变量进行对比分析，加强对反比例函数的认识；第四环节“运用新知，培养能
4、力”，例题的分析讲解给学生用反比例函数解决问题做了示范和归纳，问题5是例题的变式，也是对学生运用反比例函数解决问题的能力的提升，需要用到“整体意识”。整体上符合学生对新概念的建构、认识和运用的过程，以旧引新，分层设置问题，各个突破。教材分析本节课内容属于全日制义务教育数学课程标准2011版中的“数与代数”领域，是在已经学习了平面直角坐标系、一次函数、二次函数的基础上，通过这一节课的学习使学生认识和理解反比例函数的概念。反比例函数是初中函数学习的重要内容。通过反比例函数概念的学习，既加深对函数概念的理解，又加强对反比例变化规律的认识。从函数角度看，当一个变量变化时，另一个变量随着它的变化而变化，
5、而且对于这个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应；从反比例变化规律看，在变化过程中，这两个变量的乘积始终为定值。成反比例函数的两个变量的乘积为定值是反比例函数的特征。前面学习一次函数和二次函数时，我们都是通过大量实例归纳得出它们的解析式，给出概念，然后研究它们的图象和性质。对反比例函数的研究，也是遵循这种过程。在这第一节课，通过对现实生活和数学中问题的分析，发现变量间的反比例关系，归纳得出反比例函数的概念，再运用反比例函数的概念对数学和现实生活中的问题进行分析，通过具体实例，确定反比例函数的解析式，是本节课的研究思路。教学目标（1）通过对实际问题和数学问题的分析，抽象概括出
6、反比例函数的概念，知道自变量与对应函数值成反比例的特征。（2）更通过问题中的变量关系，确定反比例函数的额解析式。（3）让学生用类比的方法经历反比例函数概念的形成过程，进一步发展“数学抽象”的数学核心素养。重点难点教学重点：理解反比例函数的概念。教学难点：抽象得出反比例函数概念的过程。课前准备:多媒体课件，实物投影教学过程：1观察分析，导入新知【问题1】阅读下列问题，思考变量间的关系。（1）京沪线铁路全程为1 463km，乘坐某次列车所用时间t（单位：h）随该次列车平均速度v（单位：km/h）的变化而变化； （2）某住宅小区要种植一个面积为1 000m2的矩形草坪，草坪的长为y（单位：m），随宽
7、x（单位：m）的变化而变化； （3）已知北京市的总面积为1.68104平方千米，人均占有的土地面积S（单位：平方千米/人）随全市人口n（单位：人）的变化而变化。师生活动：教师提出问题，引导学生分析每个问题中三个量的关系，并回答下列问题：(1) 在每个问题中，谁是常量，谁是变量？(2) 两个变量间存在函数关系吗？试说明理由。(3) 请列出每个问题中三个量之间的关系式。设计意图：第1个实际问题视学生基础而定，可以师带领学生回顾已学知识，明确路程一定时，速度和时间成反比例关系，再引导学习从函数角度分析两个变量间的关系。第2和3个实际问题可以学生先独立思考，再相互交流，最后教师组织分析，让学生会用函数
8、的观点分析生活中变量之间的关系，能够用反比例关系式表达出来，初步建立反比例函数的模型。注意引导学生从变量的角度进一步加深对函数的认识。教师追问：请写出第1个问题中v随t变化的函数关系式；第2个问题中y随x变化的函数关系式；第3个问题中S随n变化的函数关系式。师生活动： 教师提出问题，学生回答，得出（1）（2）（3）分式形式的表达式。设计意图：前面关系式的表达比较多是整式形式，转变成分式形式，有利于得出反比例函数的一般模型，也为反比例函数三种表达式的转化无形中建立联系。如果在问题1中学生比较快可以得出分式形式，也可以免去追问，直接在问题1的分析中得出整式和分式两种形式。2. 联系归纳，建立模型【
9、问题2】（1）回顾我们学习过哪些函数？它们的一般解析式是什么？（2）在问题1中得出的函数属于我们学过的哪种函数吗？你能否根据它们的共同点写出一种新函数的解析式？师生活动：回顾已学一次函数，二次函数，观察判定问题1中的函数不属于我们学过的函数类型，得出一种新函数形式，并引导学生发现自变量的取值范围是不等于0的一切实数。设计意图：学生从不同的数学关系式中抽象出反比例函数的一般形式，让学生感受到反比例函数的基本特征，体会从实际问题中抽象出反比例函数的方法。教师追问1：函数，属于这种新函数吗？请说明理由。师生活动：学生先独立思考，再互相交流，得出三个都属于这种新函数，其中中的=1，中的，可以化为，其中
10、。教师追问2：我们把这种形如的函数称为反比例函数，为什么称为反比例函数？大家说说自己的看法。师生活动：教师提出问题，学生发表看法，引导得出：两个变量的乘积是定值，故为反比例关系最后归纳得出：形如（为常数，且）的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数。教师追问3：回忆一次函数和二次函数的学习，你能预知我们这一章要学习什么内容吗？师生活动：学生各抒己见，教师小结，得出：这一章我们首先研究反比例函数的概念，其次研究它的图象和性质，最后研究它的实际应用反比例函数是描述具有反比例变化规律的数学模型，本节课我们首先要研究反比例函数概念。设计意图：追问1试图让学生再次
11、意识到乘积为定值的两变量可以写成形式，也为追问2再次建构“成反比例关系”帮助学生自然理解和接受反比例函数这个新概念。分步帮助学生建构新函数的概念，先形式，后名称。作为章节起始课，追问3指出本节课要学习的内容和方法，有先行组织者的作用。3.辨析概念，体会运用【问题3】下列哪些关系式是的反比例函数？是反比例函数的说出对应的值。（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7）。师生活动：教师提出问题，学生独立思考，并个别提问回答。设计意图：明晰概念，引导学生从反比例函数的概念去判断函数是否是反比例函数，也帮助学生把握住两个变量乘积为定值这一基本特征。【问题4】（1）已知函数是正比例函数,则 =
12、 （2）已知函数是反比例函数,则 = 师生活动：教师提出问题，学生独立思考，解答问题。若没有学生发现（2）的思路，教师要引导学生从反比例函数的概念出发，把化为的形式，联系分式和负导数知识，从而发现反比例函数还可以化为形式。设计意图：反比例关系和正比例关系学生在小学已对比学习过，反比例是两个量的乘积为常数的一种关系，正比例是两个量的商为常数的一种关系。在这里设置对比问题，复习正比例函数的概念，也将解析式用两者的最近形式给出，得出反比例函数的第三种表达式形式，也将两种函数的解析式做了明显的对比，自变量的指数正比例的是1，反比例的是-1。4. 应用新知，培养能力例 已知是的反比例函数，当时，（1）
13、写出与的函数关系式（2） 求当时，的值师生活动：教师提出问题，学生独立思考解答。教师根据课堂反馈引导学生回忆求一次函数和二次函数解析式的待定系数法的过程，教师板书示范解答过程，总结得出求反比例函数解析式的方法。设计意图：让学生明白反比例函数解析式的确定只需确定的值，使学生掌握待定系数法求反比例函数解析式的方法，进一步熟悉函数值的求法。【问题5】已知与成反比例，且当时，。（1） 写出与的函数解析式，并判断是的反比例函数吗？（2） 求当时，的值；（3） 求当时，的值。师生活动：教师提出问题，学生独立思考解答。教师巡视学生完成情况，个别指导，并晴学生板演讲解，给出适当评价。设计意图：应用反比例的概念
14、解决问题，是例题的拓展，要把看成一个整体，加强对反比例函数概念的理解，与成反比例，但不与成反比例函数关系。5. 归纳新知，小结方法师生共同回顾所学，并请学生回答如下问题：（1）今天主要学习了反比例函数的哪些知识？我们是如何获得反比例函数的概念的？反比例函数的概念是什么？（2）反比例函数中的两个变量成什么关系？反比例函数共有几种表达形式？（3）如何根据已知条件求反比例函数的解析式？设计意图：回顾新学知识，梳理知识体系，加深对新知的理解。教学反思：1.进一步加深对函数的认识反比例函数是本套教科书安排的最后一类函数，前面学习过一次函数和二次函数，都是从变量的角度研究函数的。把函数定义为当一个量变化时
15、，另一个量随着这个量的变化而变化，突出了变化与对应关系。运用变量描述变化规律，认识函数是重要的数学模型。所以，引入时，从函数角度重新认识反比例关系：距离一定时，平均速度和运行时间的关系；矩形面积一定时，矩形长与宽的关系；土地面积一定时，人均占有土地面积和总人口的关系。都有三个量，其中一个量不变，另外两个量中一个量随着另一量的变化而变化，而且对于一个量的每一个确定的值，另一个量都有唯一确定的值与之对应，因此这种反比例关系就是反比例函数，在此对反比例关系的认识进一步提高，对函数的认识也进一步加强了。2.再一次经历概念的学习过程在这节课中，反比例函数的学习过程，学生再次经历了概念学习的几个过程：（1）概念引入：通过三个具体实例、反比例关系和函数概念，引出反比例函数；（2）概念属性的归纳：对三个实例进行分析、比较、综合，归纳得出三个实例的共同特征，具有的形式；（3）概念的明确与表示：指出形如（为常数，且）的函数叫做反比例函数，并给出文字语言和数学符号语言的准确表示；（4）概念的辨析：在例题和练习中，以实例分析概念，并恰当给出反例，如问题3和问题5；（5）概念的巩固应用：用概念解决简单问题，形成用概念作判断的具体步骤，如例题和问题5。3.巧用类比和对比的数学方法函数是初中数学重要的模型，对函数的研究方法一脉相承，所以反比例函数的概念教学也是类比前面一次函数和二次函数，
