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1、初中数学尖子生暑期培训(七升八)第十二课 全等三角形拓展A【例题之 夯实基础】三角形全等基础填空题：D1、 等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为40，则等腰三角形的顶角为 .B E C 2、 如图，在RtABC中，B=90，DE是AC的垂直平分线，BE在BC上，且BAE：BAC=1:5，则C= .D3、 如图，C为线段AE上一动点(不与点A、E重合)，O在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，P QAD与BE交于点O，AD与BC交于点Q，连结PQ，EA C E以下结论：AD=BE；PQAE；AP=BQ；DE=DP；AOB=60；OC平分AOE.BPD恒成立的结论有 .E G4、 如图，A
2、BE、ADC和ABC分别A是关于AB、AC边所在直线的轴对称图形，D CA132CB若1:2:3=14:4:2，则的度数为 .5、 如图，已知BAC=30，G为BAC的平分线上的一点，EGAC交AB于E，GDAC于D，则GD:GE= .6、 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，MEFADBC则CDM周长的最小值为 .AB7、 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则点C有 个.8、在RtABC中，已知C=9
3、0，AD平分BAC交BC于点D，若BC=32，且BD:CD=9:7，则点D到AB的距离为 .9、在ABC中，高AD和BE交于点H，且BH=AC，则ABC= .10、如图，已知AE平分BAC，BEAE于E，EDAC，BAE=36，那么BED=11、已知如图所示，BE是ABD的平分线，CF是ACD的平分线，BE与CF交于G，若BDC=140，BGC=110，则A= .12、如图，ABC中，A:ABC:BCA=2:5:11，又ABCABC，B、C、A三点在同一条直线上，则BCA:BCB的值为 .DEFB G CAAABCBDGEFABC13、如图，ABC中，AB=AC，中线BE、CF交于点D，连接A
4、D并延长交BC于G，则图中全等三角形有 对.DBEAC10题图 11题图 12题图 13题图F A G C HEDB63414、在ABC中，AB=AC，中线BD把这个三角形周长分成21cm和12cm的两部分，则这个等腰三角形底边长为 .15、如图，AEAB且AE=AB，BCCD且BC=CD，且EF=6，BG=3，DH=4，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S是 .16、 如图ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD=2DC，SGEC=3，SGDC=4k，则ABC的面积是 .(用含k的代数式表示)17、 已知如图，直线AB与OC交于点
5、B，与OD交于点A，OE和AF交于点G.若OE平分BOA，AF平分BAD，OBA=40，则此时OGA的度数为 .若GOA=BOA，GAD=BAD，OBA=，则此时OGA= .(用含n、的代数式表示)18、 如图，在正ABC中，P为边AB上的一点，Q为边AC上的一点，且AP=CQ，又BADOCFEGABQCPMM为PQ的中点，若AM=19cm，则PC= .DBEACFG16题图 17题图 18题图【例题之 能力提升】例1.如图1，在等边ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM(点D与点A重合除外)上时，以CD为一边且在CD的下方作等边CDE，连接BE.(1)判断AD与BE是否相等，请
6、说明理由；(2)如图2，若AB=8，点P、Q两点在直线BE上且CP=CQ=5，试求PQ的长；PEABQCM(3)在第(2)小题的条件下，当点D在线段AM的延长线(或反向延长线)上时，判断PQ的长是否为定值.若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由.AEBMCD例1. 以点A为顶点作等腰RtABC、等腰RtADE，其中BAC=DAE=90，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD、CE.AEDBFCABEDCF(1)试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；(2)延长BD交CE于点F，试求BFC的度数；(3)把两个等腰直角三角形按如图2放置，(1)、(2)中的结论是否仍成立？请说明理由.变式
7、练习：已知在RtABC中，ACB=90，AC=BC，BMCM于M，且CMBM.(1) 如图1，过点A作AFCM于F，直接写出线段BM、AF、MF的数量关系是 (2) 如图2，D为BM延长线上一点，连AD以AD为斜边向右侧作等腰RtADE，再过点E作ENBM于N，求证：CM+EN=MN；ENAMBCD(3) 将(2)中的ADE绕点A顺时针旋转任意角后，连BD取BD中点P，连CP、EP，作出图形，试判断CP、EP的数量和位置关系并说明.AMBC例3.在ABC中，AB=20厘米，BC=16厘米，点D为线段AB的中点，动点P以2厘米/秒的速度从B点出发在射线BC上运动，同时点Q以a厘米/秒(a0且a2
8、)的速度从C点出发在线段CA上运动，设运动时间为x秒.(1)若AB=AC，P在线段BC上，求当a为何值时，能够使BPD和CQP全等？(2)若B=60，求出发几秒后BDP为直角三角形？AQB P CD(3)若C=70，当CPQ的度数为多少时，CPQ为等腰三角形？(直接写出答案)变式练习：如图1，点P、Q分别是等边ABC边AB、BC上的动点(端点除外)，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M.(1)求证：ABQCAP.(2)如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.AB C QPMQMAB C P
9、(3)如图2，若点P、Q分别运动到点B和点C后，继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则QMC= 度.（直接填写度数）【例题之 挑战压轴/自招题】例4.如图1，ABC是等边三角形，点E在AC边上，点D是BC边上的一个动点，以DE为边作等边DEF，连接CF.(1)当点D与点B重合时，如图2，求证：CE+CF=CD；(2)当点D运动到如图3的位置时，猜想CE、CF、CD之间的等量关系，并说明理由；(3)只将条件“点D是BC边上的一个动点”改为“点D是BC延长线上的一个动点”，如图4，猜想CE、CF、CD之间的等量关系为 (不必证明).DAB C EFEAB C (D)FDAB C E
10、FDAB C EF变式练习：(1)如图1，ABC和CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，连接AD、BE相交于点P，求证：BE=AD；(2)AEBPCDAEBFCDP如图2，在BCD中，BCD120，分别以BC、CD和BD为边在BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE、等边三角形BDF，连接AD、BE和CF交于点P，下列结论正确的是(只填序号即可)AD=BE=CF,BEC=ADC,DPE=EPC=CPA=60；(3)如图2，在(2)的条件下，求证：PB+PC+PD=BE.【课后巩固练习】1、 如图1，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角
11、的两边分别交边AB、AC于M、N两点，连结MN，完成下列各题：(1) 若MNBC，请写出线段BM、MN、NC之间的数量关系，不要求证明.(2) 如图2，若MN与BC不平行，其他条件不变，试问(1)中线段BM、MN、NC之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由.ABCDMNNMABCDABCD(3) 若点M、N分别是以边AB、CA延长线上的点，其他条件不变，请在图3中画出图形，并说明(1)中线段BM、MN、NC之间的数量关系是否仍然成立.若成立，请证明；若不成立，说明理由.2、 已知如图1，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=90.(1) 求证：ABDACE；(2)求证：BD、CE所在直线互相垂直；MABDCEABDCE(3)如图2，连接BE、DC，取BE中点M，连接AM，试判断线段AM与DC有何位置关系，并加以证明.PCEFABDG3、如图，在ABC中，过C作BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，AD交BC于G，DEAB交AC于E.(1)求证：AE=CE；(2)作BCA的平分线CF交AD于P，交AB于F，求证：PCD=B；(3)在(2)的条件下，若B=60，求证：AF+GC=AC.
