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1、例1 均匀带电圆环轴线上一点的场强。设半径为R的细圆环均匀带电，总电量为q，P是轴线上一点，离圆心O的距离为x ，求P点的场强。,dq,r,解：,(3),(4) 积分求解:,由于对称性,(1),(2),将 分解为,在圆环上任意取一线元dl，其带电量为dq,在积分过程中，r和 保持不变，可以提到积分号外，即,(1) 环心处，x=0，E=0；,即远离环心处的电场相当于一个点电荷产生的电场。,(3) 当xR时，,如果把圆环去掉一半， P点的场强是否等于原来的一半？,(2) 当q0时， 沿轴线指向远离轴线的方向， 当q0时， 沿轴线指向环心；,例2 求均匀带电无限长圆柱体 (, R) 的电场分布。,E
2、 r,E1/r,解：在柱体内 (r R), 选长为 l 的 同轴柱形高斯面，利用高斯定律,在柱体外 (r R)，取同样高斯面，,所以得电场分 布的矢量表达,例3：均匀带电球层，内半径为R1，外半径为 R2，体电荷密度为 。求图中a点和b点电势。,解：,取薄球壳，半径为r，厚为dr，可视为均匀带电球面，其带电量为,r,dr,对a点，此带电球面产生的电势为,对b点，当球壳半径r rb时，其产生的电势为,当球壳半径r rb时，其产生的电势为,例4：有一块大金属平板，面积为S，带有总电量 Q，今在其近旁平行地放置第二块大金属平板，此板原来不带电。(1)求静电平衡时，金属板上的电荷分布及周围空间的电场分
3、布。(2)如果把第二块金属板接地，最后情况又如何？（忽略金属板的边缘效应。）,解：（1）由于静电平衡时导体内部无净电荷，所以电荷只能分布在两金属板的表面上。设四个表面上的面电荷密度分别为1、2、3和4。,由电荷守恒定律可知：,金属板内任一点P的场强是4个带电平面的电场的叠加，并且为零，所以,S,P,(3),(4),即：,联立求解可得：,电场的分布为：,在区，,在区，,在区，,方向向左,方向向右,方向向右,I,III,（2）如果把第二块金属板接地，其右表面上的电荷就会分散到地球表面上，所以,第一块金属板上的电荷守恒仍给出,由高斯定律仍可得,金属板内P点的场强为零，所以,联立求解可得：,P,例5
4、如图，求 O 点处感应电荷密度 。,解：取导体板内很邻近O点的 O/点，直线在O/点产生的电场,感应电荷在 O/ 点产生的电场,，由总电场,得,解：两极面间的电场,在电场中取体积元,则在 dV 中的电场能量为：,例6 一圆柱形电容器，两个极面的半径分别为R1和R2，两极面间充满相对介电常数为 的电介质。求此电容器带有电量Q时所储存的电能。,S,解: 根据电荷分布对壁的平分面的面对称性，可知电场分布也具有这种对称性。由此可选平分面与壁的平分面重合的立方盒子为高斯面，如图所示，高斯定理给出：,例7 一无限大均匀带电厚壁，壁厚为D，体电荷密度为，求其电场分布，并画出 E-d 曲线，d为垂直于壁面的坐
5、标，原点在厚壁的中心。,D,E-d 曲线如图,例8 两个同心金属球壳，内球壳半径为R1，外球壳半径为R2，中间充满相对介电常数为 er 的均匀介质，构成一个球形电容器。 (1) 求该电容器的电容； (2)设内外球壳上分别带有电荷+Q和-Q，求电容器储存的能量。,解: (1) 已知内球壳上带正电荷Q，则 两球壳中间的场强大小为 ：,两球壳间电势差,电容,(2) 电场能量：,解: (1)以q1和q2分别表示内外球所带电量，由电势叠加原理：,联立可得,可得,(2) 由：,例9 两个同心的均匀带电球面，半径分别为R1=5.0cm，R2=20.0cm，已知内球面的电势为 ，外球面的电势为 。 (1) 求内外球面所带电量； (2)两个球面之间何处电势为零。,
