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1、,材 力,材料力学,第三章 扭 转,2,材 力,第三章 扭 转,31 扭转的概念,32 扭转的内力扭矩与扭矩图,33 薄壁筒扭转,34 圆截面杆扭转的应力及强度条件,35 圆截面杆扭转的变形及刚度条件,36 矩形截面杆自由扭转,37 薄壁杆扭转,3,材 力,31 扭转的概念,4,材 力,直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。,扭转：,扭转角（两端面相对转过的角度）,剪切角，剪切角也称剪应变。,5,材 力,32 扭转的内力扭矩与扭矩图,一、扭矩,圆杆扭转横截面的内力合成结果为一合力偶，合力偶的力偶矩称为截面的扭矩，用T 表示之。,扭矩的正负号按右手螺旋法
2、则来确定，即右手握住杆的轴线，卷曲四指表示扭矩的转向，若拇指沿截面外法线指向，扭矩为正，反之为负。,6,材 力,扭矩的大小由平衡方程求之。,二、扭矩图,各截面的扭矩随荷载而变化，是截面坐标的函数，表示各截面扭矩的图象称为扭矩图。,扭矩图的画法步骤与轴力图基本相同，具体如下：,7,材 力,扭矩图的画法步骤：, 画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线；, 将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点；, 用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；画受力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画。, 按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两侧，并在图上表出数值和正负号。,8,材 力,例31画图示杆的扭
3、矩图,3kN.m,5kN.m,2kN.m,解：,1,1,2,2,3kN.m,T1,A,B,C,AC段：,BC段：,2kN.m,T2,扭矩图,3kN.m,2kN.m,-,9,材 力,扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶矩可通过传递功率和转数来换算。,三、外力偶矩换算,其中：P 功率，千瓦（kW） n 转速，转/分（rpm）,其中：P 功率，马力（PS） n 转速，转/分（rpm）,若传动轴的传递功率为P，每分钟转数为n ，则每分钟,功率作功：,力偶作功：,10,材 力,例32已知：一传动轴转数 n =300r/min，主动轮输入功率 P1=500kW，从动轮输出功率 P2=150kW，P
4、3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。,解：计算外力偶矩,11,材 力,求扭矩（扭矩按正方向假设）,12,材 力,绘制扭矩图,BC段为危险截面。,4.78kN.m,9.56kN.m,6.37kN.m,扭矩图,13,材 力,练习1画图示杆的扭矩图。,3m,2m,2m,1m,_,扭矩图,14,材 力,33 薄壁筒扭转,一、实验：,1.实验前：,绘纵向线，圆周线；,两端施加一对外力偶 m。,15,材 力,2.实验后：,圆周线不变；,各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度 。,纵向线变成螺旋线。,3.结果：,圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际
5、代表一个横截面，此结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不变，满足平面假设。,所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。,16,材 力,二、薄壁筒剪应力,A0为平均半径所作圆的面积。,薄壁筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有正应力，只有剪应力。因筒壁很薄，剪应力沿壁厚分布可视作均匀的，剪应力沿圆周切线，方向与扭矩转向一致。,T,17,材 力,三、剪应力互等定理：,这就是剪应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。,18,材 力,四、剪切虎克定律：,单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应
6、力状态称为纯剪切应力状态。,单元体ab 的倾角 称为剪应变，剪应变是单元体直角的改变量。实验表明，在弹性范围内，剪应力与剪应变成正比，即,这就是剪切虎克定律，比例常数G 称为剪切弹性模量。,19,材 力,剪切弹性模量G 、与弹性模量E 和泊松比 一样，都是表征材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系。,根据该式，在三个材料常数中，只要知道任意两个，就可求出第三个来。,20,材 力,34 圆截面杆扭转的应力及强度条件,21,材 力,3. 纵向线变形后仍为平行。,一、等直圆杆扭转实验观察,1. 横截面变形后仍为平面，满足平面假设；,2. 轴向无伸缩，横
7、截面上没有正应力；,22,材 力,二、等直圆杆扭转横截面上的剪应力,R,dx,dx,B,C,C,c,b,d, 变形的几何条件,横截面上b 点的剪应变：,其中 为单位长度杆两端面相对扭转角，称单位扭转角,B,23,材 力, 物理条件,横截面上b 点的剪应力：, 静力条件,O2,dA,dA,b,T,其中 称为截面对圆心的极惯性矩。,24,材 力,于是得横截面上任一点的剪应力为,Ip截面对圆心的极惯性矩，纯几何量，无物理意义。,式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得；, 求应力那点到圆心的距离；,25,材 力,d,D,环形截面：,极惯性矩的单位：m4,D,d,O, 极惯性矩,26,材 力,
8、同一截面，扭矩T ，极惯性矩IP 为常量，因此各点剪应力 的大小与该点到圆心的距离 成正比，方向垂直于圆的半径，且与扭矩的转向一致。,T,T,max,max,实心圆截面剪应力分布图,空心圆截面剪应力分布图,最大剪应力在外圆处。,27,材 力, 最大剪应力,令：,Wt 称为抗扭截面模量，单位：m3,实心圆截面,空心圆截面,28,材 力,例33已知空心圆截面的扭矩T =1kN.m，D =40mm，d=20mm，求最大、最小剪应力。,d,D,T,max,min,解：,29,材 力,三、圆轴扭转时的强度计算,强度条件：,其中容许剪应力是由扭转时材料的极限剪应力除以安全系数得到。,30,材 力,35 圆
9、截面杆扭转的变形及刚度条件,一、扭转时的变形,当T 、GIP 为常量时，长为l 一段杆两端面相对扭转角为,其中GIP 表示杆件抵抗扭转变形的能力，称为抗扭刚度。,31,材 力,二、刚度条件, 称为许用单位扭转角。若许用单位扭转角给的是 ，则上式改写为,32,材 力,例34图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC =2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；=60MPa， =0.3/m，G=80GPa；试选择该轴的直径。,A,B,C,mA,mB,mC,l1,l2,2kN.m,1kN.m,解：,按强度条件,33,材 力,A,B,C,mA,mB,mC,l1,l2,2kN.
10、m,1kN.m,按刚度条件,该圆轴直径应选择：d =83.5mm.,34,材 力,例35图示圆轴，已知mA =1.4kN.m， mB =0.6kN.m， mC =0.8kN.m；d1 =40mm，d2 =70mm； l1 =0.2m，l2 =0.4m；=60MPa， =1/m，G=80GPa；试校核该轴的强度和刚度，并计算两端面的相对扭转角。,A,B,C,mA,mB,mC,l1,l2,0.6kN.m,0.8kN.m,解：,按强度核该,d1,d2,35,材 力,A,B,C,mA,mB,mC,l1,l2,0.6kN.m,0.8kN.m,d1,d2,满足强度条件。,按刚度核该,36,材 力,A,B,
11、C,mA,mB,mC,l1,l2,0.6kN.m,0.8kN.m,d1,d2,此轴不满足刚度条件。,37,材 力,例36长为 l =2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；=2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。,解：设计杆的外径,38,材 力,x,39,材 力, 刚度校核,右端面转角,40,材 力,练习2图示圆杆BC 段为空心，已知 D =50mm，d=25mm； a =250mm，b =150mm；G=80GPa；试求该杆的最大剪应力和自由端的扭转角。,A,B,C,a,a,b,
12、b,D,d,0.5kN.m,0.3kN.m,0.8kN.m,1,1,2,2,3,3,4,4,解：本题应分4段考虑。,41,材 力,A,B,C,a,a,b,b,D,d,0.5kN.m,0.3kN.m,0.8kN.m,0.8kN.m,0.5kN.m,1kN.m,1,1,2,2,3,3,4,4,42,材 力,A,B,C,a,a,b,b,D,d,0.5kN.m,0.3kN.m,0.8kN.m,0.8kN.m,0.5kN.m,1kN.m,1,1,2,2,3,3,4,4,43,材 力,36 矩形截面杆自由扭转,非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。,44,材 力,自由扭转：杆件扭
