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1、VAR模型讲义 作者： 日期：第8章 VAR模型与协整 8.1 向量自回归（VAR）模型1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后值进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。8.1.1 VAR模型定义VAR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。假设y1t，y2t之间存在关系，如果分别建立两个自回归模型y1, t = f (y1, t-1, y1, t-2, )y2, t = f (y2, t-1, y2, t-2, )则无
2、法捕捉两个变量之间的关系。如果采用联立的形式，就可以建立起两个变量之间的关系。VAR模型的结构与两个参数有关。一个是所含变量个数N，一个是最大滞后阶数k。以两个变量y1t，y2t滞后1期的VAR模型为例， y1, t = m1 + p11.1 y1, t-1 + p12.1 y2, t-1 + u1 t y2, t = m2 + p21.1 y1, t-1 + p22.1 y2, t-1 + u2 t (8.1)其中u1 t, u2 t IID (0, s 2), Cov(u1 t, u2 t) = 0。写成矩阵形式是， =+ (8.2)设， Yt =, m =, P1 =, ut =,则，
3、Yt = m + P1 Yt-1 + ut (8.3)那么，含有N个变量滞后k期的VAR模型表示如下： Yt = m + P1 Yt-1 + P2 Yt-2 + + Pk Yt-k + ut, ut IID (0, W) (8.4)其中， Yt = (y1, t y2, t yN, t) m = (m1 m2 mN) Pj =, j = 1, 2, , k ut = (u1 t u2,t uN t),Yt为N1阶时间序列列向量。 m为N1阶常数项列向量。P1, , Pk 均为NN阶参数矩阵，ut IID (0, W) 是N1阶随机误差列向量，其中每一个元素都是非自相关的，但这些元素，即不同方程
4、对应的随机误差项之间可能存在相关。因VAR模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与ut是不相关的，所以可以用OLS法依次估计每一个方程，得到的参数估计量都具有一致性。VAR模型的特点是：（1）不以严格的经济理论为依据。在建模过程中只需明确两件事：共有哪些变量是相互有关系的，把有关系的变量包括在VAR模型中；确定滞后期k。使模型能反映出变量间相互影响的绝大部分。（2）VAR模型对参数不施加零约束。（参数估计值有无显著性，都保留在模型中）（3）VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量，所有与联立方程模型有关的问题在VAR模型中都不存在。（4）VAR模型的另一个特点是有相当多的参数需要估计
5、。比如一个VAR模型含有三个变量，最大滞后期k = 3，则有k N 2 = 3 32 = 27个参数需要估计。当样本容量较小时，多数参数的估计量误差较大。（5）无约束VAR模型的应用之一是预测。由于在VAR模型中每个方程的右侧都不含有当期变量，这种模型用于预测的优点是不必对解释变量在预测期内的取值做任何预测。西姆斯（Sims）认为VAR模型中的全部变量都是内生变量。近年来也有学者认为具有单向因果关系的变量，也可以作为外生变量加入VAR模型。 8.1.2 VAR模型的稳定性特征现在讨论VAR模型的稳定性特征。稳定性是指当把一个脉动冲击施加在VAR模型中某一个方程的新息（innovation）过程
6、上时，随着时间的推移，分析这个冲击是否会逐渐地消失。如果是逐渐地消失，系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。下面分析一阶VAR模型Yt = m + P1 Yt-1 + ut (8.5)为例。当t = 1时，有Y1 = m + P1 Y0 + u1 (8.6)当t = 2时，采用迭代方式计算，Y2 = m + P1 Y1 + u2 = m + P1 (m + P1 Y0 + u1) + u2 = (I + P1) m + P12 Y0 + P1 u1 + u2 (8.7)当t = 3时，进一步迭代，Y3 = m + P1 Y2 + u3 = m + P1 (I + P1) m + P12 Y0 +
7、 P1 u1 + u2 + u3 = (I + P1 + P12) m + P13 Y0 + P12 u1 + P1 u2 + u3 (8.8) 对于t期，按上述形式推导 Yt = (I + P1 + P12 + + P1t-1) m + P1t Y0 + ut-i (8.9)由上式可知，P10 = I。通过上述变换，把Yt表示成了漂移项向量m、初始值向量Y0和新息向量ut的函数。可见系统是否稳定就决定于漂移项向量m、初始值向量Y0和新息向量ut经受冲击后的表现。假定模型是稳定的，将有如下3个结论。（1）假设t = 1时，对m 施加一个单位的冲击，那么到t期的影响是 (I + P1 + P12
8、 + + P1t-1)当t 时，此影响是一个有限值，(I - P1) -1。（2）假设在初始值Y0上施加一个单位的冲击。到t期的影响是 P1t。随着t ，P1t 0，影响消失（因为对于平稳的VAR模型，P1中的元素小于1，所以随着t ，取t次方后，P1t 0）。（3）从ut-i项可以看出，白噪声中的冲击离t期越远，影响力就越小。=(I - P1) -1，称作长期乘子矩阵，是对ut-i求期望得到的。对单一方程的分析知道，含有单位根的自回归过程对新息中的脉动冲击有长久的记忆能力。同理，含有单位根的VAR模型也是非平稳过程。当新息中存在脉动冲击时，VAR模型中内生变量的响应不会随时间的推移而消失。平
9、稳变量构成的一定是稳定（stability）的模型，但稳定的模型不一定由平稳变量构成。也可能由非平稳（nonstationary）变量（存在协整关系）构成。8.1.3 VAR模型稳定的条件VAR模型稳定的充分与必要条件是P1（见 (8.3) 式）的所有特征值都要在单位圆以内（在以横轴为实数轴，纵轴为虚数轴的坐标体系中，以原点为圆心半径为1的圆称为单位圆），或特征值的模都要小于1。1先回顾单方程情形。以AR(2)过程yt = f1 y t-1 + f2 y t-2 + ut (8.11)为例。改写为(1- f1 L - f2 L 2) yt = F(L) yt = ut (8.12)yt稳定的条
10、件是F(L) = 0 的根必须在单位圆以外。2对于VAR模型，用特征方程判别稳定性。以 (8.3) 式，Yt = m + P1 Yt-1 + ut，为例，改写为 (I - P1 L) Yt = m + ut (8.13)其中A(L) = (I - P1 L)。VAR模型稳定的条件是特征方程 | P1 - l I | = 0的根都在单位圆以内。特征方程 | P1 - l I | = 0的根就是P1的特征值。例8.1 以二变量（N = 2），k = 1的VAR模型为例分析稳定性。=+ (8.14)其中 P1 =特征方程| P1 - l I | = = = 0即 (5/8 - l)2 1/8 = (
11、5/8 - l)2 = (0.978 - l) (0.271 - l) = 0 (8.15)得 l1 = 0.9786, l2 = 0.2714。l1，l2是特征方程 | P1 - l I | = 0的根，也是P1的特征值。因为l1 = 0.978, l2 = 0.271，都小于1，所以对应的VAR模型是稳定的。3VAR模型的稳定性也可以用相反的特征方程（reverse characteristic function），| I L P1 | = 0判别。即保持VAR模型平稳的条件是相反的特征方程 | I - L P1| = 0的根都在单位圆以外。例8.2 仍以VAR模型(8.14) 为例，相反
12、的特征方程| I - L P1| = = = (1- (5/8) L)2 - 1/8 L 2 = (1-0.978 L) (1-0.27 L) = 0 (8.16)求解得L 1 = 1/0.978 = 1.022, L 2 = 1/0.27 = 3.690,因为L 1，L 2都大于1，所以对应的VAR模型是稳定的。注意：（1）特征方程与相反的特征方程的根互为倒数，l = 1/L。（2）在单方程模型中，通常用相反的特征方程 F(L) = 0的根描述模型的稳定性；而在VAR模型中通常用特征方程 | P1 - l I | = 0的根描述模型的稳定性。即单变量过程稳定的条件是（相反的）特征方程F(L)
13、 = 0的根都要在单位圆以外。VAR模型稳定的条件是，相反的特征方程| I L P1 | = 0的根都要在单位圆以外，或特征方程 | P1 - l I | = 0的根都要在单位圆以内。4对于k1的k阶VAR模型可以通过友矩阵变换（companion form），改写成1阶分块矩阵的VAR模型形式。然后利用其特征方程的根判别稳定性。具体变换过程如下。给出k阶VAR模型，Yt = m + P1 Yt-1 + P2 Yt-2 + + Pk Yt-k + ut (8.17)再给出如下等式， Yt -1 = Yt -1 Yt -2 = Yt -2 Yt -k +1 = Yt - k +1把以上k个等式写成分块矩阵形式，=+ (8.18)其中每一个元素都表示一个向量或矩阵。令Yt = (Yt-1 Yt-2 Yt-
