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1、文数 课标版,第七节正弦定理和余弦定理,1.正弦定理和余弦定理,教材研读,2.在ABC中,已知a、b和A时,解的情况,上表中,若A为锐角,当absin A时无解;若A为钝角或直角,当ab时无解.,3.三角形面积 设ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c,其面积为S. (1)S=ah(h为BC边上的高). (2)S=absin C=acsin B=bcsin A.,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.() (2)在ABC中,若sin Asin B,则AB.() (3)在ABC的六个元素中,已知任意三个元素,可求其他元素.(),(4
2、)当b2+c2-a20时,三角形ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,三角形ABC为直角三角形;当b2+c2-a20时,三角形ABC为钝角三角形.() (5)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积.(),1.在ABC中,若a=2,c=4,B=60,则b等于() A.2B.12C.2D.28,答案A由b2=a2+c2-2accos B,得b2=4+16-8=12,所以b=2.,2.在ABC中,a=3,b=5,sin A=,则sin B=() A.B.C.D.1 答案B根据=,有=,得sin B=.故选B.,3.(2016甘肃兰州一模)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c
3、,若a=,b=3,c=2,则A=() A.B.C.D. 答案C易知cos A=, 又A(0,), A=.故选C.,4.在ABC中,BC=2,AC=,B=,则AB=,ABC的面积是 . 答案3;,解析由余弦定理,得AC2=BC2+AB2-2BCABcos,AB=3(负值舍去), SABC=ABBCsin=.,考点一利用正、余弦定理解三角形 典例1(1)(2016课标全国,4,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b=() A.B.C.2D.3 (2)(2016课标全国,9,5分)在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则 sin A=() A.B.
4、C.D. (3)(2016课标全国,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=. 答案(1)D(2)D(3),考点突破,sinBAC=.故选D. (3)由cos C=,0C, 得sin C=. 由cos A=,0A, 得sin A=. 所以sin B=sin-(A+C)=sin(A+C) =sin Acos C+sin Ccos A=, 根据正弦定理得b=.,规律总结 (1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦
5、定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到. (2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.,考点二利用正、余弦定理判断三角形的形状 典例2(2013陕西,9,5分)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为() A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.不确定 答案B 解析由已知及正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin2A,又sin(B+C)=sin A,sin A=1,A=.故选B.,方法技
6、巧 (1)判断三角形的形状,应从三角形的边、角两方面进行思考,主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别. (2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理.,变式2-1若将本例中的条件“bcos C+ccos B=asin A”改为“2sin AcosB =sin C”,试判断ABC的形状. 解析由条件及正弦定理得2acos B=c,再由余弦定理得2a=c a2=b2a=b,即ABC为等腰三角形.,变式2-2若将本例中的条件“bcos C+ccos B=asin A”改为“acos A=bcos B”,试
7、判断ABC的形状. 解析由条件及正弦定理, 得sin Acos A=sin Bcos Bsin 2A=sin 2B, 又A、B均为ABC的内角,所以2A=2B或2A=-2B, 即A=B或A+B=. 所以ABC为等腰三角形或直角三角形.,变式2-3若将本例中的条件“bcos C+ccos B=asin A”改为“2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,且sin B+sin C=1”,试判断ABC的形状. 解析由条件及正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 整理得a2=b2+c2+bc,则cos A=-, sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C
8、.,又由sin B+sin C=1,可得sin2B+sin2C=1-2sin Bsin C, 由cos A=-,可得sin A=,所以sin Bsin C=, 所以sin B=sin C=. 又易知0B,0C,故B=C=, 所以ABC是等腰钝角三角形.,考点三与三角形面积有关的问题 典例3在ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,且(2b-c)cos A=acos C. (1)求角A的大小; (2)若a=3,b=2c,求ABC的面积. 解析(1)由(2b-c)cos A=acos C, 得2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A, 得2sin Bcos A=
9、sin(A+C), 所以2sin Bcos A=sin B, 因为0B,所以sin B0, 所以cos A=,因为0A,所以A=. (2)因为a=3,b=2c,由(1)知A=, 所以cos A=, 解得c=, 所以b=2. 所以SABC=bcsin A=2=.,规律总结 (1)求三角形ABC的面积时,常用公式S=absin C=acsin B=bcsin A,一 般根据已知角具体选择. (2)解决与面积有关的问题,一般要用到正弦定理、余弦定理进行边和角的转化.,3-1已知ABC是斜三角形,内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c.若csin A=acos C. (1)求角C; (2)若c=,且sin C+sin(B-A)=5sin 2A,求ABC的面积. 解析(1)根据=, 可得csin A=asin C, 又csin A=acos C, asin C=acos C, sin C=cos C, tan C=,C(0,),C=. (2)sin C+sin(B-A)=5sin 2A,sin C=sin(A+B), sin(A+B)+sin(B-A)=5sin 2A, 2sin Bcos A=25sin Acos A. ABC为斜三角形, cos A0,sin B=5sin A. 由正弦定理可知b=5a,
