《2017-2018版高中数学 第二章 推理与证明章末复习课 新人教B版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018版高中数学 第二章 推理与证明章末复习课 新人教B版选修2-2（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、章末复习课,第二章推理与证明,学习目标 1.理解合情推理与演绎推理的区别与联系，会利用归纳与类比推理进行简单的推理. 2.加深直接证明和间接证明的认识，会应用其解决一些简单的问题. 3.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式与不等式问题.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,1.合情推理 (1)归纳推理：由 到 、由 到 的推理. (2)类比推理：由 到 的推理. (3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.,部分,个别,整体,一般,特殊,特殊,2.演绎推理
2、(1)演绎推理：由 到 的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： 已知的一般原理； 所研究的特殊情况； 根据一般原理，对特殊情况作出的判断.,一般,特殊,大前提,小前提,结论,3.直接证明和间接证明 (1)直接证明的两类基本方法是 和 . 是从已知条件推出结论的证明方法； 是从结论追溯到条件的证明方法. (2)间接证明的一种方法是 ，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法.,综合法,分析法,综合法,分析法,反证法,4.数学归纳法 数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题.证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当n 时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当n (k
3、N，且kn0)时结论成立，推得当n 时结论也成立.,n0,k1,k,题型探究,类型一合情推理的应用,例1(1)有一个奇数列1,3,5,7,9，现在进行如下分组：第一组含一个数1；第二组含两个数3,5；第三组含三个数7,9,11；第四组含四个数13,15,17,19；，试观察每组内各数之和并猜想f(n)(nN)与组的编号数n的关系式为_.,f(n)n3,解析,答案,解析由于113，35823，79112733， 131517196443，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)n3.,(2)在平面几何中，对于RtABC，ACBC，设ABc，ACb，BCa，则 a2b2c2；
4、cos2Acos2B1； RtABC的外接圆半径为r . 把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明.,解答,解选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象. 设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，,设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为， 则cos2cos2cos21. 设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，,下面对的猜想进行证明. 如图在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC，平面ABD，平面ACD为三个两两垂直的侧面.,设ABa，ACb，ADc，,即所证猜想为真命题.,(1)归纳推理中有很大一部分题目是
5、数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法. (2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性.,反思与感悟,跟踪训练1(1)观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图形中有 _个小正方形.,解析,答案,解析第1个图有3个正方形记作a1， 第2个图有33个正方形记作a2， 第3个图有64个正方形记作a3， 第4个图有105个正方形记作a4， ， 正方形的个数构成数列an， 则a2a13，(1) a3a24, (2) a4a35, (3) ,anan1n1，(n1) (1)(2)(n1)，得ana1345(n1)，,(2)若数列an为
6、等差数列，Sn为其前n项和，则有性质“若SmSn(m，nN且mn)，则Smn0.”类比上述性质，相应地，当数列bn为等比数列时，写出一个正确的性质：_ _.,答案,数列bn为等比数列，Tm表示其前m项的积，若TmTn(m，nN，mn)，则Tmn1,类型二综合法与分析法,证明,例2已知x，y0，xy1，试分别用综合法与分析法证明：log2(x2y21)log2xlog2ylog2172.,证明方法一(分析法) 因为x，y0， 所以要证log2(x2y21)log2xlog2ylog2172，,由于x，y0，于是为了证明上式成立，只需证明4x2y2417xy， 即证4x2y217xy40.,所以式
7、成立，这就证明了log2(x2y21)log2xlog2ylog2172成立. 方法二(综合法),即log2(x2y21)log2xlog2ylog2172.,分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件.,反思与感悟,跟踪训练2设a0，b0，ab1， 求证： 试用综合法和分析法分别证明.,证明,证明方法一(综合法) 因为a0，b0，ab1，,方法二(分析法) 因为a0，b0，ab1，,类型三反
8、证法,例3已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2. (1)求数列an的通项公式；,解答,解当n1时，a1S12a12，则a11. 又anSn2，所以an1Sn12，,(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.,证明,证明假设存在三项按原来顺序成等差数列， 记为ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN)，,又因为pqr，所以rq，rpN. 所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立. 所以假设不成立，原命题得证.,反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命题时，也常用反证法.,反思与感悟,证明,因为x0且y0，
9、所以1x2y且1y2x， 两式相加，得2xy2x2y，所以xy2. 这与已知xy2矛盾.,类型四数学归纳法,例4观察下列四个等式： 第一个式子11， 第二个式子 2349， 第三个式子 3456725， 第四个式子 4567891049. (1)按照此规律，写出第五个等式；,解答,解第五个等式：5671381.,(2)请你做出一般性的猜想，并用数学归纳法证明.,解答,解猜想第n个等式为 n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2. 证明：当n1时，左边1， 右边(21)21，所以等式成立. 假设当nk(k1，kN)时，等式成立， 即有k(k1)(k2)(3k2)(2k1)2. 那么当nk1时，
10、左边(k1)(k2)(3k2)(3k1)3k(3k1) k(k1)(k2)(3k2)(2k1)3k(3k1),(2k1)2(2k1)3k(3k1) 4k24k18k(2k1)2 2(k1)12. 右边2(k1)12， 即当nk1时，等式也成立. 根据知，等式对任意nN都成立.,(1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n0是多少. (2)由nk到nk1时，除等式两边变化的项外还要利用当nk时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.,反思与感悟,解答,解答,(2)求数列an的通项公式.,下
11、面用数学归纳法证明：,那么当nk1时，,即当nk1时，猜想也成立，,当堂训练,答案,2,3,4,5,1,解析,1.观察按下列顺序排序的等式：9011,91211,92321,93431，猜想第n(nN)个等式应为 A.9(n1)n10n9 B.9(n1)n10n9 C.9n(n1)10n1 D.9(n1)(n1)10n10,解析由已知中的式子，我们观察后分析： 等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号， 等式右边是一个等差数列. 根据已知可以推断： 第n(nN)个等式为9(n1)n10n9.故选B.,2.在平面直角坐标系中，方程 1表示x，y轴上的截距分别为a，b的直线，类比到空间直角坐标系中
12、，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc0)的平面方程为,答案,2,3,4,5,1,解析,2,3,4,5,1,解析在平面直角坐标系中，方程 表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴，y轴上的截距分别为a，b”.类比到空间坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc0)的平面方程为.故选A.,2,3,4,5,1,答案,解析,解析方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根，故选A.,3.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是 A.方程x3axb0没有实根 B.方程x3axb0至多有一个实数 C.方程x3axb0
13、至多有两个实根 D.方程x3axb0恰好有两个实根,4.如图，这是一个正六边形的序列：,解析,答案,解析图(1)共6条边，图(2)共11条边，图(3)共16条边，其边数构成以6为首项，5为公差的等差数列，则图(n)的边数为an6(n1)55n1.,2,3,4,5,1,则第n个图形的边数为_.,5n1,2,3,4,5,1,解答,2,3,4,5,1,所以取a25.,当n1时，已证结论正确.,2,3,4,5,1,则当nk1时，,2,3,4,5,1,即当nk1时，结论也成立.,故a的最大值为25.,规律与方法,1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，
14、但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明. 2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.,3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法. 4.数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)当nn0时，结论成立.第二步(归纳递推)假设当nk(kN，且kn0)时，结论成立，推得当nk1时，结论也成立.数学归纳法是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.,
