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1、2.3.2 方形共焦腔中自在现模式的近似解,由于大多数中、小功率的激光器都采用稳定球面腔，故它的模式理论具有更广泛和更重要的实践意义。 首先介绍方形镜共焦腔自再现模积分方程的解析解，讨论它们的自再现模以及自再现模而激发的行波场的特征。,1 方形镜对称共焦腔,方形镜对称共焦腔的两个凹面反射镜的孔径是方形的，故镜面坐标采用直角坐标。,由图可见：,(2.3.11),(2.3.10),而P1P1与P2P2可近似认为等于图示中的1与2，利用球面镜的几何关系，可推出的计算公式为：,近似条件为Rr， 将表达式用于方形镜共焦腔，并注意到RlR2L有：,(2.3.12),(2.3.12),将(2.3.11)式和
2、(2.3.12)式代入(2.3.10)式中，可得,再将此式代入积分方程(2.3.5)中，便有线度为2a2a的方形镜对称共焦腔的积分方程为：,(2.3.14),按博伊德和戈登的方法进行变数代换，取,并做如下变量分离：,将积分方程变成两个一维的积分方程,N,由于两个方程的形式相同，故只需求解其中一个就可以。当c值为有限大小时，该方程本征函数的精确解析解为：,(2.3.20),l,l,本征值的精确解析解为,这些椭球函数都为实函数。当c1时上述本征函数与本征值的精确解都可用近似解析解表示，其中本征函数的解在用x、y代回X、Y后为：,(2.3.22),式中Cm,l与模式有关的常数； Hm()第m阶厄米多
3、项式。 下边写出几个低阶厄米多项式,(2.3.23),本征值的近似解为,H0()=1 H1()=2 H2()=42-2 H3()=83-12,(2.3.27),一、自再现模的特征,令(2.3.23)式中m=l=0，得到基模TEM00的振幅分布函数为：,(一)镜面光场分布,1振幅分布,(2.3.24),振幅降至最大值的1/e所对应的半径r定义为基模光斑光斑半径,共焦腔镜面的基模光斑半径0s:,(2.3.25),此式说明，镜面光斑大小与镜面线度无关，利用(2.3.25)式可将(2.3.23)式重新改写如下：,(2.3.26),TEM00,TEM10,TEM20,TEM30,高阶模的光斑半径须分别沿
4、不同坐标来计算，通常定义沿x、y方向的光斑半径分别为：,可见，阶次越高，光斑半径越大，光强分布越偏离中心。,2相位分布,由于uml(x,y)为实函数，说明镜面各点的光场相位相同，共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等相位面。,(二)单程衍射损耗,讨论单程衍射损耗，ml必须用精确解(2.3.22)式。ml与N有关，说明ml也与N有关。ml与N关系的计算曲线如图所示。,=0,方形镜共焦腔ml与N关系曲线,(1)对同一模式，ml随N的增大急剧减小。 (2)N相同时，基模的最小，阶次越高越大。,(3)与平行平面腔比较，共焦腔的单程衍射损耗要小好几个数量级。,N,(三) 单程相移与谐振腔,可得方形镜共焦腔单
5、程附加相移为,(2.3.27),单程相移,可见其附加相位超前，其超前量随横模阶数而变，但与N无关，这一点与平面腔有所不同。,由式（2.3.27）可得：,可得方形镜共焦腔的谐振频率：,共焦腔对谐振频率出现了高度简并的现象。即所有2q+m+l相等的模式都将具有相同的谐振频率。,(四)、方形镜共焦腔的行波场,求出镜面上的光场以后，利用菲涅耳一基尔霍夫衍射积分公式可求出腔内任一点的光场。 博伊德和戈登证明，方形镜共焦腔的这个计算结果，也就是行波场可用以下解析式表示(坐标原点选在腔轴线的中点) 腔内外任一点的光场均可以由以下解析式求解。,式中Cml为与模式有关的常数， 0/(z) 称为衰减因子，它反映出
6、随着行波场的传播，场振幅的大小衰减的规律。 (z)是z坐标处的基模光斑半径引入=2z/L=z/z0，计算公式为,(2.3.29),0为z0处的基模光斑半径，可看出0为(z)的最小值，故又称腰斑半径。L为共焦腔腔长，z0为共焦腔凹面反射镜的焦距，大小恰好等于腔长L的一半， z0 又称共焦腔的焦参数。 两个反射镜面处的z坐标为zL/2，由上式可算出镜面处基模光斑半径os与腰斑半径0的关系为：,称为横向振幅分布因子，它反映出各模式在不同z坐标处的横截面内的振幅分布。它是厄米高斯分布。,第二部分,(2.3.30),第三部分,称为位相因子,等相位面方程,忽略因为z的微小变化引起的变化，有,抛物面方程,(
7、2.3.34),在腔轴附近，可以证明上式所描述的共焦场的等相位面是个球面，在与腔轴z0坐标处的等相位面的曲率半径就是(z1)。它随z1坐标而变，计算公式为：,（2.3.36）,抛物面的顶点在z=z1处，焦距为,（2.3.35）,定义双曲线的两条渐近线之间的夹角为光束发射全角，则,附加相移与横模模式有关。,（2.3.32）,由（2.3.30）,得：,（2.3.38）,例如共焦腔氦氖激光器腔长L30cm，0.6328m，则2310-3rad。 高阶模的发散角是随着模的阶次的增大而增大，所以多模振荡时，光束的方向性要比单基模振荡差。,模体积,模体积指的是该模式在腔内所能扩展的空间范围。模体积越大，说
8、明对该模式的振荡有贡献的激活粒子就越多，因此可获得越大的输出功率。 对称共焦腔的基模模体积通常可以用下式进行估算：,高阶模模体积则为：,圆形镜对称共焦腔,圆形镜对称共焦腔两反射镜孔径为圆形，设半径为a，镜面处坐标以极坐标为宜。它的积分方程可由方形镜积分方程(3-2-5)式出发，令 x=rcos , yrsin ，xrcos ，yrsin ，从而得到:,分离变量可将u(r， )写成如下形式,可以证明，当腔菲涅耳数N时，圆形镜共焦腔积分方程的本征函数的近似解析解可表示为拉盖尔一高斯函数,其中Rml所满足的积分方程可证明为：,Llm()称为缔合拉盖尔多项式，现写出几个多项式如下：,本征值的近似解为,
9、行波场的特征,圆形镜共焦腔的行波场为,横向振幅分布因子,位相因子,2.4.1 谐振腔往返一周变换矩阵的本征态,2.4 本征模式的几何光学理论、稳定球面腔,稳定腔（|A+D|2）的任一高斯模在腔内往返一周后，应能重现其自身。 设一高斯光束从腔内某一参考平面出发，往返一周后应有：,解得：,（2.4.8）,2.4.2 稳定谐振腔,光腰离参考平面的距离为z:,（2.4.11）,光腰0的大小为：,（2.4.10）,（2.4.13）,可算得高斯模在参考平面上的曲率半径和光斑尺寸为：,可导出腔的稳定性条件（为实数）。 对两镜腔、多元腔、折叠腔、环形腔等所有腔型都适用。,（2.4.14）,（2.4.15）,将
10、ABCD值代入（2.4.10、11、14、15）得,2.4.3 稳定两镜腔本征模式的主要结果,（2.4.17）,(2.4.17),(d2),稳定球面腔光腰半径：,(2.4.17),镜面的基模光斑半径,(2.4.17),2、谐振频率,由(2.3.31)和(2.3.32)，可写出方形镜一般稳定球面腔的两上反射镜面顶点处的位相因子分别为：,按谐振条件,将(d2）式代入上式，并利用三角变换可得一般稳定球面腔谐振频率为：,可得谐振频率为：,同理，圆形镜一般稳定球面腔的谐振频率为,(d3),(d4),基模运场发散角,(全角),模体积,按共焦腔模体积相同的考虑方法，一般稳定球面腔的基模模体积可以定义为：,今
11、有一球面谐振腔，R1=1m， R2=2m， L=0.5m，=10.6m， 1）试证明该腔为稳定腔。求出该腔的光腰半径及其远场发散角各为多少？ 2）离R2右边距离为1m处的光斑半径和等相位面曲率半径各为多少？,例 题：,稳定腔,2.5 非稳腔 |A+D|2,本征光束是：球面波（点光束） 优点：1、有很大的模体积； 2、直接利用腔的衍射损耗耦合输出； 3、可输出准直性很好的光束； 4、横模损耗间隔比稳定腔大，易进行横模选择。,本征值,稳定腔：,非稳定腔解为实数，所以对应的本征态是实曲率半径R的球面波：,（2.5.2）,（2.5.5）,（2.5.4）,将非稳腔往返一周变换矩阵代入(2.5.4),可以
12、得到M1处的几何自再现波型的曲率半径,（2.5.9）,当g1g21或者(A+D)2， 、取“+”号 当g1g20或者(A+D)-2， 、取“-”号,非稳腔的自再现条件为：轴线上存在的这两个源点P1和P2点在相应的反射镜中互为影像。符号规定是：如果所考虑的P点在腔外则距离l0是正的；反之l0,（2.5.10）,（2.5.8）,可解得:,（2.5.11）,2.5.2 非稳腔的几何损耗,设m1是镜M1的单程放大率， m2是镜M2的单程放大率,往返一周的放大率M为,（2.5.15）,（2.5.17）,考虑宽度分别为2a1和2a2的两个互相平行的无限长窄条形镜的情况。从初等几何光学可知，所反射的能量比例是,往返一周能量损耗是,（2.5.19）,（2.5.22）,（2.5.23）,如果镜面积与其线度2a1、2a2平方成正比，这时相应的公式为往返一周能量损耗是,（2.5.24）,
