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1、第九章 相似理论,本章主要内容：,1.介绍相似概念,2.相似三定理,3.方程分析法,4.因次分析法及定理,课堂提问：为什么设计一条新船型通常需做模 型实验?,解决实际中流体力学问题，通常有两种途径 ：,实际流动现象很复杂，一般难以用微分方程来 描述。即使能够建立微分方程，由于数学上的 困难，往往也难于求解。因此，进行实验研究 是解决许多流体动力学问题的重要手段。,本章主要介绍第二种研究途径，及实验研究理论,建立描述流动过程的微分方程式，给定初始条件、边界条件对微分方程求解（例如解N-S方程）,通过实验寻求流动过程的规律性,问题的提出：,1.实验条件如何安排？（设计实验模型的根据）,进行实验研究
2、，需要解决什么问题？,3.试验结果如何换算？（试验结果与实际流动之间 服从什么关系）,2.试验数据如何整理？,解决上述三个问题，是进行流体力学试验研究 的基本问题。,模型试验是对真实流动现象在实验室内的再现，目的是揭示流动的物理本质。, 相似概念,一、物理现象相似,二、流动现象相似,如果在相应的时刻，两个物理现象的相应特征 量的比值在所有对应点上保持常数（无量纲数dimensionless number ），则这两个物理现象称为相似的。,1.几何相似: 对应边成比例，对应角相等。,对用边成比例:,对应角相等：,2.运动相似,对应点上，流体质点速度的方向相同，大小成比例。,运动相似的两个流动系统
3、中，对应流体质点位 移对应距离所需的时间间隔成比例：,，L均为常数，则也为常数，即运动 相似的系统，时间也相似。,运动相似必须以几何相似为前提。,，均为常数，则也为常数，即运动 相似的系统中，加速度也相似。,运动相似的系统，对应点的加速度也相似。,3、动力相似,在对应点上，同名力的方向相同， 大小成比例,对于各种同名力，应成同一比例,在原形和模型两个系统中，若动力相似，对应 点上的各种力组成的力多边形应相似，故每两边 之间的夹角应相等。,动力相似包括运动相似，而运动相似又包括 几何相似。,所以动力相似包括力、时间和长度三个基本物 理量相似。,由此可以推导出，两系统之间存在密度相似 和流体动力（
4、压力、升力、阻力）系数相等。,密度相似,无因次的流体动力系数由下式定义：,（9-4）,其中为流体作用力，和分别为选定 的作为特征量的流体密度、速度和面积 。,下面证明两动力相似系统的流体动力系数相等,两流动现象中，若几何相似，运动相似，动力 相似，则两流动现象相似。,例如原型流动与模型流动满足几何相似，运动 相似，动力相似，则两流动现象相似。,三.相似准则（判据）,在进行流体力学的模型试验时，模型系统与实 物系统的特征物理量之间应保持一定的关系，这 些关系就是由相似准则推导出来的。,相似准则（判据）：流动现象的特征量所组成的 无量纲组合数。,相似准则的作用：判断两个流动现象是否相似,- 相似理
5、论,相似性第三定理（定理）,1. 两流动现象相似，相似准则相等，其准则方程 式相同。,2. 若将模型流动结果整理成准则方程式，则该方程 式可以应用到原形流动中去。,相似三定理回答了模型试验中必须解决的问题，归纳如下：,（1）由模型和原形的相似准则数相等，确定模型 系统的特征长度、特征速度，流动介质等。,结论,（3）将实验所得到的各相似准则之间的关系整 理成关系公式（曲线），以便应用到原形 流动中去。,（2）模型试验中，应测定各相似准则中所包的 一切物理量，并把它们整理成相似准则。,- 方程分析法,两流动现象相拟的充分必要条件：满足同一微分方程式，而且边界条件和初始条件相似。,一撇:原形系统 两
6、撇：模型系统,对于粘性流体流动相似问题，两个流动相似系统，均满足NS方程（以方向为例）,两系统流动相似，所有同类物理量成比例， 对应的相似常数表示如下：,将（）式代入（）式可得:,(c),(d),对于模型系统，物理量要同时满足(b),(d)两式。 所以（d)式中各项系数必须相等。,全式除以变位惯性力项 得：,（9-7）,引入音速的传播公式：,对应的相似常数为,所以,因此可以得到如下五项重要的结果：,特洛哈尔数：,佛劳德数：,欧拉数：,雷诺数：,马赫数：,以上五个无因次数称为相似准则（相似准数）,相似准则的物理意义：,雷诺数(Reynolds number),Re大：表示粘性作用小， Re小：表
7、示粘性作用大。 对于理想流体0，此时Re,反映流体粘性的作用, Re相等表示流动现象的 粘性力相似.。,反应重力（质量力）对流体的作用,Fr相等 表示现象的重力作用相似。,与重力有关的现象由Fr决定，例如波浪运动和舰 船的兴波阻力等，都和Fr密切相关。,（）佛劳德数 (Froude number),(3)斯特洛哈尔数(Strouhal Number),反应流体非定常运动的相似, St相等表示现 象的周期性相似,St相等表示现象的周期性相似，与周期性有关的非定常流动由St来决定，例如卡门涡街引起的振动，螺旋桨的性能等等。,在螺旋桨理论中，可将上式变为如下形式:,式中:为螺旋桨转速，为螺旋桨直径，
8、称 为螺旋桨的相对进程(无因次数)。,与压力有关的现象由Eu来决定，例如空泡现象、 空泡阻力等。,(4) 欧拉数(Euler number),在讨论空泡问题时, 相似准数通常用空泡数：,p ：为液体的饱和汽压,马赫数反映流体的压缩性,相等就是压缩 性相似.,与压缩性有关的现象就由马赫数来决定，例如 高速飞机的性能要用来表示。,1.两流动现象相似，五个相似准数（Re、Fr、St、 Eu和Ma应相等。,结论：,2. 对于不同问题的试验，考虑轻重缓急进行取舍。,(5)马赫数(Mach Number):,例如：,1. 在低速风洞中进行潜艇阻力试验时，只需考 虑Re（有粘性作用），可不考虑Fr（无兴波问
9、 题）和St（定常流动）和Eu（无空泡现象）。,2. 在水池中进行舰船的水面阻力试验时，则只考 虑Re（有粘性阻力）和Fr（有兴波阻力）。,讨论：,某实船船长200m, 航速0.1m/s,若模型试验时，缩 尺比为1：200，试决定模型试验速度。,解：,1.由雷诺数相似,所以,2.由佛劳德数相似,所以,显然,实际问题中，先保证佛劳德数相似，进行试验， 然后进行修正。,- 因次分析法与定理,几个基本概念：,因次（或量纲）：物理量测量单位的种类,基本量纲：是所研究现象中最重要的而且是量 纲独立的量。,在不可压流体力学中，通常有:,其余可由这三个基本量纲导出(见p179.),长度L, 质量M, 时间T
10、,导出量纲：由基本量纲，根据物理意义推导出：,例如,基本量：所研究的流动问题中，相互独立的流 动物理量。,定 理,表达某具体流动的内在规律,这种关系式称为准则关系式或准则方程式，也称定理。,讨论：,1.关系式,2.关系式,反映某一类型流动的普遍物理规律,确定无量纲量的步骤：,1.将所研究的流动问题中有关的物理量列出：,3.让 P 个 与其余的 组合成 n-p 个无 量纲量,将其写成：,将其写成：,例1. 粘性不可压流体水平圆管定常流动,这里 P = 3,计算 ：,管道沿程损失,相对粗糙度,沿程阻力系数,因此,或,例2. 圆球在无界粘性不可压缩流体中匀速运动,有关物理量：,分析阻力与哪些因素有关
11、,物体阻力,船舶等速直线航行时，由经验知道，影响船舶 阻力的因素有：流体密度，航速，船长，流体的运动粘度，重量力加速度，船壳壁面粗糙度，船的排水体积等。,例3. 求船舶阻力,Rf（，V，L，g，D ） （9-30）,如取,V,L为基本量，有关物理量的无量 纲数为：,由 定理可写出下列函数关系式：,解：,其中 为船舶的瘦削系数。,根据定理，可将（930）式写成相应的无量 纲关系式：,f（1,1,1,，D）,即,或,前述已经知道要同时满足e相似和r相似 是不可能的。,目前的做法是：,将船舶总阻力分成三部分：摩擦阻力， 兴波阻力 形状阻力,引入形状因子将并入摩擦阻力之中 两者只与有关。,而兴波阻力只
12、与有关。,（ ） （）,这样，就把总阻力分解成彼此无关的两部分：,船模试验中,只保证相等，而放弃相等,采取相应措施为：,1.试验条件允许时，适当加大船模尺度，使船模 和实船的Re尽可能地接近,以减少尺度效应。,2.使船模和实船边界层内流动为同一状态。 例如；在船模艏部适当的地方装激流丝以促 使流动层流到湍流的转变。,由以上分析，可将水面船舶的阻力试验以及换 算方法概括如下：,(1) 确定船模的缩尺比, 由几何相似制作船模。,由Fr相等确定船模相当速度，测定船模在 这一速度下的总阻力 。,计算船模相当平板在这一速度下的摩擦阻 力Rf ，选择.再按Rw Rt-（1+k）Rf 计算船模兴波阻力。,（4）因试验中满足了Fr相似，故船模和实船的 兴波阻力系数相等。,（）计算实船相当平板的摩擦阻力Rf，最后 按Rt（）RfRw,因为,即,
